SARRERA: ZENBAKIZKO KALKULUA ZERTARAKO?

HELBURUAK

ALDEZ AURREKO EZAGUTZA

GAI ZERRENDA

METODOLOGIA

ZENBAKIZKO KALKULA ZERTARAKO?

Ingeniariaren eginkizun nagusia zera da: diseinuak edo konponbide teknologikoak asmatu behar eta arazo ekonomikoei, industrialei edota sozialei aurre egiteko.

Ingeniariek zientziaren, matematikaren eta esperientzaren ezaguera erabiltzen dituzte arazoei konponbide egokiak aurkitzeko. Sarritan, arazoaren eredu matematiko egokia sortzen dute, hura zehatz-mehatz aztertu ahal izateko (batzutan behin-betikoz) eta posible guztietatik honena aurkitzeko. Zeregin honetan, sarritan, Ingenierien eta bereziki Ingeniari Kimikoen problemek ekuazio matematiko konplexuegiak ebaztea eskatzen du. Ingeniariak problemari beti erantzun bat eman behar dionez, problema ekuazio bezala planteatzea ez da nahikoa. Hau ebatzi eta emaitza numerikoa lortu behar da, ondoren dagokion erabakia hartzeko.

Ikuspuntu horretatik, irakasgai honetan zenbakizko metodo arruntenak erabiliaz erraztasunez eta azkartasunez Ingeniaritza Kimikoako edozein problema ebazten ikasiko duzu. Lehenengo mailan jasotako ezaguera matematikoen bidez, problema ugari ebazteko gai zara. Hala ere, kasu askotan, a) ebazpena oso luzea izan daiteke, b) ebazpen-metodoa ez duzu menperatzen, c) ez du ebazpen-metodoa ezagutzen ikasitakoengandik antza ez duelako.

Horretarako, Ingeniaritza Kimikoako problema batek gordetzen duen problema numerikoa identifikatzen ikasiko duzu, helburu funtzioa aurkitzen alegia, eta honen arabera zenbakizko teknika egokiena aukeratzen eta ebazpen numerikoa modu egokian inplementatzen ikasiko duzu. Hortaz helburua bikoitza da: Alde batetik zenbakizko metodo arruntenen oinarriak ezagutzea eta bestetik, programatzen ikastea zenbakizko metodoak erabiliaz problemak ebazteko. Bigarren helburu honetarako zenbakizko kalkuluarako balio duen edozein programa edo software erabil dezakezu: Excel, Matlab, Scilab, Fortran, Basic, etab. Nire aldetik Scilab proposatzen dizut, software askea delako.

HELBURUAK

Ingeniaritzaren alorrean, problema matematiko baten aurrean, hau ebazteko zenbakizko metodo egokiena aukeratzeko, beharrezko tresnanara egokitzeko eta ebazteko gai izatea.

Helburu hau lortzeko, hurrengo gaitasun bereziak garatu behar ditu:

• A) Kognitiboa (jakite): zenbakizko metodoa arruntenen ezagutza, zenbakizko kalkuluan zenbakien eta erroreen adierazpena ordenagailuan ezagutzea.
• B)Instrumentala (egiten jakite): Problema mota bakoitzean zenbakizko metodo egokiena aukeratzeko gaitasuna, kalkulurako tresna batean modelatzeko eta ebazteko gai izatea, Kalkulu prozesuaren ondoren emaitza numerikoa lortu ahal izateko.

ALDEZ AURREKO EZAGUTZA
Irakasgai honetan eragiketa matematikoak eta hauek ordenagailuetan inplementatzen ikasiko dugunez, irakasgai honi aurre egin aurretik, ondoko gaiak menperatzea gomendatzen dizut:

• Ingeniaritzaren Oinarri Matematikoak (Ingeniaritza Kimikoaren titulazioako 1. ikasturtea, urte osokoa). Ingeniaritzan erabiliko diren oinarrizko eragiketa matematikoak: kalkulu diferentziala eta integrala. Aldagai bakarreko eta anitzeko algebra. Algebra matriziala. Biderkadura eskalarra, biderkadura bektoriala. Gainazal integralak. Gradienteak. Kalkulu integralerako zenbakizko metodoak (trapezioaren eta Simpsonen metodoak). Tayloren teorema.
• Ekuazio Diferentzialak (Ingeniaritza Kimikoaren titulazioko 2. ikasturtea, 1. lauhilekoa): Lehen mailako ekuazio diferentzial bakunen eta sistemen ebazpen analitikoa. Bigarren mailako ekuazio diferentzial bakunen ebazpen analitikoa. Zenbakizko metodoen oinarriak.
• Sistema informatikoak: (Ingeniaritza Kimikoaren titulazioako 3. ikasturtea, 1. lauhilekoa): Algoritmika, Programatzen jakitea. Programa mota: Scilab/Matlab

GAI ZERRENDA

1. SARRERA. Irakasgaiaren helburuak. Programa, plangintza eta irakasgaiaren ebaluazioa. Kalkulurako tresnak. Bibliografia eta software. Konbergentzia. Errorea eta hedakuntza.
2. ERROEN KALKULUA. Tarte-metodoa. Metodo irekiak: Newton-Raphson. Polinomio-erroak. Adibideak.
3. EKUAZIO-SISTEMAK. Sistema linealak eta ez-linealak. Gaussen ezabapena. Gauss-Jordan. Deskonposaketa-metodoak. Matrize-alderanzketa. Iterazio-metodoak: Gauss-Siedel. Adibideak.
4. EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTAK. Euleren metodoa. Runge-Kuttaren metodoa. Iragartzaile-Zuzentzaile-metodoa. Adibideak.
5. DIFERENTZIATZE ETA INTEGRAZIOA. Balio jarraien eta tarte erregular eta irregularretan bananduriko balio diskretuen integrazio-metodoak. Trapezioen, Simpsonen eta Gauss-Legendreren erregelak. Zenbakizko diferentziazio-metodoak. Erroreen aurrean integrazio eta diferentziazioa. Adibideak.
6. KURBA-DOIKETA. Erregresio lineala. Karratu txikien bidezko doikuntza-metodoa. Erregresio lineal anitza. Erregresio ez-lineala. Softwarea kurba-doiketarako.
7. INTERPOLAZIOA. Newton-en interpolazioa. Lagrange-ren interpolazioa. Interpolazioa zatika. Alderantzizko interpolazio eta estrapolazioa. Adibideak
8. OPTIMIZAZIOA. Optimizazio metodo dimentsio bakarrak. Interpolazioa, Newton. Optimizazio metodo dimentsio anitzak: zuzenak, gradientezkoak. Optimizazio mugatua. Optimizaziorako softwarea. Adibideak.
9. EKUAZIO DIFERENTZIAL PARTZIALAK. Ekuazio eliptikoak eta parabolikoak. Diferentzia-finitoen metodoa. Ekuazio-errepikariak. Garraio-ekuazioen aplikazioa. Adibideak.
10. EKUAZIO DIFERENTZIAL PARTZIALAK. Ekuazio eliptikoak eta parabolikoak. Diferentzia-finitoen metodoa. Ekuazio-errepikariak. Garraio-ekuazioen aplikazioa. Adibideak.

METODOLOGÍA

Ikasgai hau erabat praktikoa da, eta egiten ikasten da. Atal honetan, ikasteko metodologia proposatzen dizut, hots, zein motatako zereginak edo jarduerak egin eta zenbat denbora eskaini.

Ikasgai honek UPV/EHUko Ingeniari Kimikoaren titulazioan 6 ECTS kreditu ditu, hots, 150 ikaste ordu gutxi gora behera. Titulazio honetako ikasleek 2. ikasturtearen 2. lauhilebetean ikasi ohi dute 64 ordu ikaste presentzialean eta 84 ordu (gutxi-gorabehera) ez presentzialean, 15 astetan banandurik.

4 jarduera edo zeregin mota proposatzen dizkizut:

• A) Teoriaren ikasketa: Proposatutako bibliografian, gai-zerrendan aipatutako matematikoki ebazpen konplexua duten problemak ebazteko algoritmo erabilgarriak aztertu, mota eta konplexutasun mailaren arabera sailkatuta. Kasu bakoitzean bere oinarri matematikoak, irismena eta mugak aztertu, aplikatzeko metodologia ulertu eta ikasi. Gai bakoitzean proposatutako metodoen artean zein aukeratu jakiteko irizpideak ikasi. Jarduera honetan guztira 30 ordu eman behar dituzu gutxi gora behera.
• B) Zenbakizko motetodoen sasi-kodeak garatu: Aurreko jardueran ikasitako zenbakiko metodo edo algoritmo batzu kalkulurako programa batean (Scilab) inplemementatzeko sasi-kodeak garatu. Jarduera honetan guztira 20 ordu eman behar dituzu gutxi gora behera.
• C) Problemen ebazpena. Teorian ikasitako praktikan jartze da jarduera honen helburua. Aurreko jardueran (B) garatutako sasi-kodeak kalkulurako tresna edo softwarean (Scilab adibidez) idatzi eta proposatutako problemak ebazteko erabili. Problemak ebazteko kalkulurako software-ak dituen algoritmoak ere erabili eta agindutako problemak ebazteko moldaerak egin. Jarduera honetan guztira 60 ordu eman behar dituzu gutxi gora behera.
• D) Ingeniaritza Kimikoaren problema zabalagoen ebazpena. Irakasgaiaren helburuetako bat, Ingeniaritza Kimikoako problemak ebazteko, helburu funtzioa aurkitzen eta zenbakizko metodo egokiena aplikatzen jakitea denez, Ingeniaritza Kimikoako arlo desberdinetan oinarritutako 3 problema zabal ebatziko dituzue metodo egokienak aplikatuz.. Problema hauek ikastaroan ikasitako zenbakizko metodo bat baino gehiagoren konbinazioa erabiltzea eskatzen du. Horrexegatik, problema bakoitza 2-3 ataletan banatuta dago zailtasunaren arabera ikasturtean zehar atalez atal ebazteko. Jarduera honetan guztira 40 ordu eman behar dituzu gutxi gora behera.

Laburbilduz: