Irakaskuntza gidan ezarritako programaren arabera, atal honetan zenbakizko metodo arruntenak edo erabilgarrienak ikasteko gida da. Kasu bakoitzean bere oinarri matematikoak, irismena eta mugak aztertu, aplikatzeko metodologia ulertu eta ikasi. Gai bakoitzean proposatutako metodoen artean zein aukeratu jakiteko irizpideak ikasi.

15 asteko irakasgaia bailitz, zeregin hauek denboran zehar noiz ikasi programatuta aurkezten dizkizut hurrengo taulan

1. ASTEA: SARRERA (1. GAIA)

Gai honetan zenbakizko kalkulua zertan datzan ikusi dugu, jauskariaren adibidean oinarrituta. Ikasgai honen ideia nagusiak hauexek dira:

1. Zenbakizko kalkuluan, metodo jakinen bitartez, ekuazio konplexuak batuketak eta biderkaketak dituzten ekuazio samurragoetan bihurtzen dira kalkulu kopurua areagotuz.
2. Ondorioz lortutako emaitza ez da inoiz benetako emaitza izango, haren hurbilketa bat baizik.
3. Emaitzara garamatzan kalkulu multzoari iterazio deritzogu. Iterazio bakoitzaren ondoren lortutako emaitza benetakora gehiago hurbitzen bada, kalkulurako metodo hori konbergentea da.
4. Benetako emaitzara zenbat hurbildu garen jakiteko errorea difinitzen ikasiko dugu: benertako errorea eta gutxi gora-beherako errora.
5. Emaitza zehatza lortzea ezinezkoa da. Hortaz iterazio kopurua infinitua izan ez dadin, kopuru jakin batean finkatu beharra dago. Zenbat iterazio egin jakiteko "tolerantzia" definituko dugu, hots, lortutako emaitzaren errore onargarria.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 01sarreraZK.swf (Edozein Web Arakatzailerekin ireki)

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 1. eta 3. gaiak.

Itzuli

2. ASTEA: EKUAZIO EZ LINEALEN EBAZPENA (2. GAIA)

Gai honetan aldagai ezezagun bakarra duten ekuazio ez lineal konplexuen erroak aurkitzeko metodoak ikasiko ditugu. Azalpena, aurreko gaiko jauskariaren adibidean oinarrituko dugu. Aste honetan ikasi behar duzuna:

1. Ekuazio-erroak zer esan nahi duen eta grafikoki interpretatzen jakin. Funtzioa=0 eginez, eta funtzioa grafiko batean irudikatuz, erroa aurkitzen jakin.
2. Ingeniaritzako zein problemetan agertzen diren ekuazio-erroak.
3. Metodo numeriko gehienak bi taldetan banatzen dira: tarte-metodoak (metodo itxiak) eta metodo irekiak. Bien arteko diferentzia ezagutu.
4. Erdibiketa metodoa grafikoki interpretatzen jakin. Sasikodea definitu dugu eta fluxu-diagramaren bitartez adierazten jakin. Bataz besteko errorea definitzen jakin.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 02ekuazioerroakZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 5. gaia
• Gerald eta Wheatley:2. gaia

Itzuli

3. ASTEA: EKUAZIO EZ LINEALEN EBAZPENA (2. GAIA)

Aurreko astean ekuazio-erroak ebazteko erdibiketa metodoa erabiltzen ikasi genuen. Aste honetan gainontzeko metodo guztiak aztertuko ditugu. Metodo bakoitzaren oinarriak ezagutuko ditugu, kalkulurako metodologia grafikoki ulertuko dugu, errorea eta sasi-kodea idazten ikasiko dugu.

1. Sasi-kokapenaren metodoa
2. Puntu-finkoaren metodoa
3. Newton Rapshon-en metodoa
4. Sekantearen metodoa
5. Tarte-metodoen eta metodo irekian arteko diferentzia ulertu. Tarte metodoak beti dira konbertenteak, aldiz metodo irekiak zenbait kasutan dibergenteak izan daitezke. Konbergentzia eta dibergentziaren arteko diferentzia ulertzeko puntu-finkoaren metodoaren adierazpen grafikoa erabiliko dugu.
6. Hasierako ustezko balioa zer den ulertu. Metodo irekiak tarte metodoak baino azkarragoak/eraginkorragoak dira emaitza aurkitzen, hasierako ustezko balioa emaitzatik hurbil badago.
7. Erroa anitzak dituzten ekuazioaen problematika eta ebazteko metodo sinple bat ezagutu.
8. Scilab-en ekuazio ez linealen erroak aurkitzeko fsolve eta root funtzioakerabiltzen ikasi.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 02ekuazioerroakZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 5. gaia
• Gerald eta Wheatley:2. gaia

 Itzuli

4. ASTEA: EKUAZIO LINEALEN SISTEMEN EBAZPENA (3. GAIA)

Ingeniaritzan eta batez ere Ingeniaritza Kimikoan ekuazio sistema linelen ebazpena eskatzen duten problema ugari agertzen dira, batez ere, energia eta materiaren balantzea eskartzen duten prozesuen azterketan. Aste honetan ikasiko duguna zera da:

1. Ekuazio sistemak definitzen eta modu matrizialean idazten.
2. Ingeniaritza Kimikoan zein kasutan agertzen den ekuazio sistema linealen ebazpena.
3. Ekuazio sistema linealak ebazteko metodoak bi taldetan sailkatzen dira: Metodo zuzenak edo zehatzak, operazio kopuru jakin baten ondoren benetako emaitza ematen digutenak eta metodo iteratiboak, iterazio bakoitzean emaitzara hurbiltzen direnak.
4. Gauss-en ezabapen metodoaren metodologia ulertu.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 03ekuaziosistemakZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 9. gaia
• Martín Lorente eta Pérez Garcia: 6 gaia

Itzuli

5. ASTEA: EKUAZIO LINEALEN SISTEMEN EBAZPENA (3. GAIA)

Ekuazio sistema linealen ebazpenaren jarraipena. Aste honetan ikasiko duguna zera da:

1. Gauss-en ezabapen metodoan, gaizki baldintzatutako ekuazioek sortzen duten arazoak. Pibotearen teknika arazo horiek konpontzeko.
2. Gauss-Jordan metodoa (metodo zehatza)
3. Gauss-Seidel metodoa (metodo iteratiboa). Metodo hau, ingeniaritza kimikoan oinarrizko operazioen diseinuan (etapa anitzeko distilazio zutabieak, absortzio edota erauzketa prezesuak) ohikoak diren ekuazio sistema oso handiak eta "zero" koefiziente asko dituzten ekuazio sistemak ebazteko metodorik egokiena dela.
4. Jacobiren metodoa (metodo iteratiboa)
5. Metodo zehatzen eta metodo iteratiboen arteko abantailak eta desabantailak.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 03ekuaziosistemakZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 9. gaia
• Martín Lorente eta Pérez Garcia: 6 gaia

Itzuli

6. ASTEA: EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTEN (EDA) EBAZPENA (4. GAIA)

Ekuazio diferentzial arruntak (EDA) sistema fisiko eta kimikoen dinamika aztertzerakoan agertzen dira, aldagai independiente edo askea bakarra denean. Aldagai hau espazio-aldagaia (x) edo denbora-aldagaia (t) izan ohi da. Ingeniaritza Kimikoan erreaktore edo bestelako unitate batean tenperaturaren edota kontzentrazioaren bilakaera espazioarekiko edo denborarekiko ezagutu nahi denean agertzen dira.

Jauskariaren adibideari ekingo diogu, gaia azterketako. Gai honi buruz lehen astean zera ikasiko dugu:

1. Ekuazio diferentzial arrunta ingeniaritzako problemetan identifikatu. Aldagai askea eta menpekoa identifikatu. Mugalde-baldintzak identifikatu.
2. Eulerren zenbakizko metodoaren deskribapena ulertu grafikoki. Taylor-en seriearen espantsioarekin duen erlazioa ezagutu.
3. Pausuaren murrizketa errorean eta kalkulu kopuruan duen eragina. Iterazioak.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 04EDAZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 25. gaia
• Gerald eta Wheatley: 6 gaia

Itzuli

7. ASTEA: EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTEN (EDA) EBAZPENA (4. GAIA)

4. gaiarenkin jarraituz, aste honetan zera ikasiko dugu:

1. Heun-en eta Erdiko Puntuaren metodoak. Igarle-zuzentzaile metodoen oinarria ulertu.
2. Runge-Kuttaren 4. eta 5. mailako metodoak.
3. EDA sistemen ebazpena.
4. Kalkulurako-tresnak (SCILAB) EDA-k ebazteko dituen funtziak nola erabili.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 04EDAZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 25. gaia
• Gerald eta Wheatley:: 6 gaia

 Itzuli

8. ASTEA: INTEGRAZIOA (5. GAIA)

Integrazioak ingeniaritzako problemen ebazpenean aplikazio ugari ditu. Orokorrean, integrala, funtzio baten kurbaren azpiko azalerarekin lotzeko ohitura dugu. Integralak zera adierazten du: Aldagai independiente (x) batekiko aldakorra sistema batean, propietate fisiko edo kimiko (f(x)) baten kopuruaren kalkulua aldagai independiente hori aldatu den tarte baten barruan. Integrazio teknikak ingeniaritzako edozein ikasketetako lehen ikasturteetan ikasten den arren, integratu beharreko ekuazioak oso konplexuak direnean, sarritan teknika horiek ez dute balio.  Gai honetan zera ikasiko dugu:

1. Trapezioaren erregela eta bere aplikazioa
2. Simpsonen erregelak eta bere aplikazioa.
3. Gauss-Legrengeren metodoa
4. Integrazioa egiterako orduan, bi egoera desberdin aurkitu dezakegu. Batzutan, integratu beharreko funtzioa ezaguna izango da eta hortaz, aurreko metodoetan guk ezarritako aldagai independientearen edozein balioan funtzioaren balioa ezagutu dezakegu; bestetan aldiz, integratu nahi dugun funtzio zenbaki zerrenda bat gisa ezagutuko dugu (ez funtzio analitikoa). Kasu bakoitzean metodo egokiena aukeratu eta metodoaren sasi-kodea idazteko orduan estrategia desberinak erabili beharko ditugu.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 05integrazioaZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 22. gaia
• Martín Lorente eta Pérez Garcia: 8 gaia

Itzuli

9. ASTEA: DIFERENTZIAZIOA (5. GAIA)

Ingeniaritzan ohikoa da denborarekin edo distantziarekin etengabe aldatzen diren sistema edo prozesuekin lan egitea. Adibidez, erreaktore batean erreaktibo edo produkturen kontzentrazioa denborarekin nola aldatzen den aztertzea; beste modu batera esanda, erreakzio abiadura aztertzea. Orokorrean edozein aldagairen aldatze-abiadura aztertzeko eragiketa deribatua kalkulatzea da. Funtzio baten deribazio teknikak gaztetandik ikasi ditugun arren, ingeniaritzan ohikoagoa da fisikoki neurtutako aldagaiaren balioen deribatua egitea. Ikasgai honetan, zenbaki zerrenda baten deribatua egiteko teknika samurrenak ikasiko dugu. Azkenik, diferentziazioak eta integrazioak erroren duten eragina ikasiko dugu.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 05integrazioaZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 22. gaia
• Martín Lorente eta Pérez Garcia: 8 gaia

Itzuli

10. ASTEA: KURBA DOIKETA (6. GAIA) 

Zientzian eta Ingeniearitzan hipotesiaren froga motako esperimentuak erabili ohi dira. Hipotesi batetik eratorria den modelu matematikoa esperimentalki lortutako emaitzekin konparatzen da, hipotesia egiazkoa dela frogatzeko eta aldi berean modelu matematikoaren parametroak ezagutzeko. Eragiketa honi kurba-doiketa deitzen diogu.

Gai honetan kurba-doiketarako metodo errazenak eta arrunteanak aztertuko ditugu:

1. Kurba-doiketa ulertu karratu minimoen metodoaren bitartez. Erregresio lineal bakunaren dedukzioa ulertu behar dugu.
2. Sistema ez-lineal bateko datuak nola linealizatu ikasiko dugu.
3. Erregresio-lineal bakuna EXCEL-en ebazten ikasi.
4. Erregresio-lineal anitza ulertu eta EXCEL-en ebazten ikasi.
5. Erregresio ez lineala nola plantetu ikasi. Ebazpen teknikak optimizazio gaian ikasiko dugu.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 06kurbadoiketaZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 17. gaia

Itzuli

11. ASTEA: INTERPOLAZIOA (7. GAIA)

Zientzia eta Ingeniaritzako kalkuluetan, sarritan zehaztasun handitu datuen bildumak (Handbook) erabiltzen ditugu. Adibidez, Termodinamikan, ur-lurrunaren propietate termodinamikoak. Baina ohikoa da guk nahi ditugun baldintza berezietan daturik ez egotea (datuen bildumako tartekoak baitira) eta ondorioz bildumako datuekin gure baldintzetako datua estimatu behar dugu. Operazio honi interpolazioa deritzo. Gai honetan, interpolazio teknika desberdinak ikasiko ditugu:

1. Interpolazioa teknika errezena "interpolazioa lineala" da. Bildumako jarrian dauden bi datuen arteko erlazioa linela dela kontsideratuz. Baldintza hau gutxitan betetzen da, eta ondorioz estimazioaren errorea handi samarra izan ohi da.
2. Linealtasun eza kontutan hartzen duten teknikak errezenak "Newton-en interpolazioa" eta "Interpolazioa kuadratikoa" dira. Datuen arteko erlazioa polinomikoa balitz bezala hartzen da. Ondoren, ekuazio polinomikoa ezagutu ondoren, tarteko datuen estimazio zehatzagoa egin dezakegu.
3. Zehaztasun handiena ematen dutek teknikak, "segmentuzko metodoak" dira. Hemen ere datuen arteko erlazioa polinomikoa bezala hartzen dugu, baina tarte bakoitzerako bereziki egokiena den polinomioa kalkuluatuko dugu. Hortaz, ekuazio polinomiko asko izango ditugu, eta estimatu nahi dugun balioaren arabera ekuazio polinomiko egokiena erabiliko dugu. Kalkulurako software gehienetan mota honetako interpolazioa SPLINE deritze.
4. SCILAB-en interpolazioa egiteko funtzioak ikasiko ditugu: INTERPLN, INTERP, SPLIN

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 07interpolazioaZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 18. gaia
• Gerald eta Wheatley:3. gaia

Itzuli

12. ASTEA: OPTIMIZAZIOA (8. GAIA)

Ingeniaritzako eta bereziki Ingeniaritza Kimikoako edozein prozesuren diseinuan, optimizazio operazioa garrantzitsuena da, prozesuaren funtzionamendu optimoa gertatzeko balintzak kalkulatzen laguntzen digulako; adibidez, erreaktore batean erreaktiboen konbertsioa handiena izan dandin tenperatura edota erreakzio denbora kalkulatzea, edota irabaziaok maximo edo kostuak minimo egiten dituen operazioa baldintzak kalkulatzea. Lehendabizi zer optimizatu, hots maximo edo minimo egin, nahi dugun jakin behar dugu: honi helburu funtzio deritzo. Ondoren, zein aldagairekiko (bat edo gehiago) optimizatu nahi dugun. Eta azkenik, kalkulu hau egiteko zein metodo erabiliko dugun erabaki behar dugu.

1. Optimizazio metodoak bi taldetan banatuko ditugu: aldagai bakarrekoak (helburu funtzioa aldagai bakar baten menpekoa denean) eta aldagai anitzekoak.
2. Aldagai-bakarreko metodoen artean (urrezko sekzioa, interpolazioa kuadratikoa eta Newton-en metodoa aztertuko ditugu)

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 08optimizazioaZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

•  Chapra eta Canale: 13. gaia

 Optimizazioa egiteko aldagai anitzeko metodoak aztertuko ditugu aste honetan:

1. Aldagai anitzeko metodoen artean (Nelder eta Meat, Aldagai bakarreko metodoa, Malda handienaren metodoa, eta Newton).
2. Ekuazio sistema ez-linealak optimizazio metodoen bitartez eebatzi daitezke, ekuazio guztiak =o moduan idatziaz eta funtzio guzti hauen batura minimo egiten duen aldagaien balioak bilatu, host, optimizazio metodo batez.
3. Optimizazio-mugatua.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 08optimizazioaZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 14. gaia

Itzuli

14. ASTEA: EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTAK (EDA) MUGALDE BALDINTZEKIN (9. GAIA)

4. gaiko EDA-en ebazpena egiteko, hasierako baldintza (jauskariaren adibidean, t=0 denean f(t)=v=0) ezagutzea derrigorrezkoa da. Ingeniaritzako zenbait aplikazioetan aldagai independientearen (adibidez, t) bukaerako balioan funtzioaren balioa ezaguna da. Ondorioz, EDA bi baldintza horiak beteaz ebatzi behar da. Gai honetan, "jaurtiketa metodoa" ikasiko dugu gai mota honetako problemak ebazteko. Jaurtiketa metodoa bi metodoen konbinazioa da: EDAk ebazteko metodo bat + ekuazio algebraiko ez linealak ebazteko (erroak aurkitzeko) metodo bat.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 09EDA_mugaldeZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 27. gaia
• Gerald eta Wheatley:7. gaia

Itzuli

15. ASTEA: EKUAZIO DIFERENTZIAL PARTZIALAK (10. GAIA)

Ingeniaritza Kimikoan garraio-fenomenoen azterketan (beroaren eta materiaren transmisioan) ekuazio diferentzial partzialak (aldagai independiente bat baino gehiagorekiko deribatuak) erabili ohi dira. Gai honetan ekuazio diferentzial partzialak ebazteko teknika bat aztertuko dugu, bi pausutan banatua:

1. Diferentzia finitoen metodoa erabiliaz, ekuazioak sinplifikatu egingo ditugu, ekuazio sistema lineal batean bihurtzeko.
2. Ekuazio-sistema lineala Gauss-Seidel-en metodoa erabiliaz ebatzi egingo dugu.

Gaiari buruzko aurkezpen laburtua: 10EDPZK.swf

Gai honi lotuta ondoko irakurketa gomendatzen dizut:

• Chapra eta Canale: 29. gaia
• Gerald eta Wheatley:7. gaia

Itzuli