Esta asignatura pretende contribuir a que los estudiantes desarrollen competencia matemática a través de la resolución de problemas. Se trata de que los estudiantes adquieran habilidades en la construcción de modelos matemáticos basados en conceptos y procedimientos del Análisis Matemático, para la resolución de problemas que se plantean en el ámbito de las Ciencias y la Ingeniería. Puedes obtener una Guía docente en la que explicamos con más detalle qué es el Análisis Matemático, qué es competencia matemática y cómo aprovechar mejor este curso.
Desde el punto de vista de los profesores y profesoras que han diseñado este curso, la competencia matemática se concreta en las cuatro competencias que a continuación se enuncian.
COMPETENCIA 1.-Reconocer las teorías y los conceptos de Análisis Matemático que son aplicables para la resolución de problemas planteados en el ámbito de las Ciencias y la Ingeniería.
Las situaciones problemáticas planteadas pueden estar alejadas del problema-tipo, estar definidas de un modo no formal o estar insuficientemente definidas. El siguiente es un ejemplo de problema en el que hay que poner en juego la competencia 1. El estudiante puede medir su competencia matemática tratando de resolverlo.
"Teclea en una calculadora un número positivo cualquiera.Calcula la raíz cuadrada. Del número resultante vuelve a calcular la raíz cuadrada. Repite este proceso una y otra vez. Verás que siempre termina apareciendo en la pantalla el número 1. ¿Por qué?".
COMPETENCIA 2. Utilizar los conceptos y procedimientos del Análisis Matemático para la resolución de problemas planteados en el ámbito de las Ciencias y la Ingeniería.
Se busca que los alumnos desarrollen habilidades de investigación y de razonamiento en términos matemáticos y utilicen los aspectos procedimentales elementales del Análisis Matemático. En general, los problemas reales pueden exigir capacidad de análisis cualitativo, abstracción, formulación de hipótesis, construcción de modelos matemáticos, elección de notación, elaboración de estrategias de resolución, búsqueda de soluciones, interpretación de las soluciones, búsqueda de generalizaciones.
COMPETENCIA 3.-Explicar y justificar el proceso que se ha seguido para la resolución del problema mediante teorías, conceptos y procedimientos de Análisis Matemático.
No es suficiente con obtener una solución para el problema. Una persona matemáticamente competente debe ser capaz de justificar la solución que propone, de explicar en qué se resultados matemáticos se ha basado, demostrar que la solución es válida. En suma, debe ser capaz de convencer de que ha encontrado una solución.
COMPETENCIA 4.- Utilizar el ordenador como herramienta de construcción de modelos matemáticos destinados a resolver problemas en el ámbito de las Ciencias y la Ingeniería.
El ordenador es un instrumento muy valioso para la búsqueda de soluciones a problemas que se plantean en las Ciencias y en la Ingeniería. La competencia matemática también incluye la habilidad de utilizar algún software para construir modelos matemáticos con los que manipular conceptos matemáticos, poner en práctica procedimientos matemáticos y resolver problemas.
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Tabla 1. Conjuntos, trigonometría y operativa general
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Conjuntos (pertenencia, inclusión, intersección, unión)
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Conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales)
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Binomio de Newton
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Área y volumen de figuras elementales
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Relaciones trigonométricas elementales
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Ecuación de una recta
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Tabla 2. Notación matemática
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Simbología, definiciones, teoremas (hipótesis y tesis, implicación, equivalencia, negación de propiedades), la demostración matemática (ejemplos y contraejemplos, reducción al absurdo)
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Tabla 3. Cálculo diferencial e integral elemental
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Conceptos de variable y de función. Gráfica de una función.
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Funciones elementales y sus gráficas (exponencial, logarítmica, trigonométricas, potencias, valor absoluto)
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Límites y continuidad. Teoremas fundamentales de las funciones continuas definidas en un intervalo [a,b] (Bolzano, valores intermedios, acotación)
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Derivabilidad, cálculo de derivadas. Rectas tangentes y normales. Teoremas fundamentales de las funciones continuas y derivables (Rolle, valor medio).
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Cálculo de integrales elementales. Fórmula de Newton-Leibniz. Cálculo de áreas.
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Al ingeniero, al científico, al técnico, se le plantean problemas para los cuales puede necesitar diversas teorías matemáticas. Algunas de estas teorías son: Análisis Matemático, Álgebra, Estadística, Análisis Numérico y otras muchas. El Análisis Matemático nos da instrumental para estudiar el modo en que unas variables dependen de otras variables. En este curso se estudian los conceptos y los procedimientos del Análisis Matemático de funciones reales de una y varias variables reales.
Diferentes formas del número complejo. Operaciones con números complejos. Cálculo de lugares geométricos. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
Tema 2. Sucesiones numéricas
Concepto de límite de una sucesión. Propiedades. Series numéricas.
Tema 3. Funciones reales de una variable real
Conceptos de límite y continuidad. Propiedades de la funciones continuas definidas en intervalos [a,b]. Derivabilidad. Aplicaciones.
Tema 4. Estudio local de funciones reales de una variable real
Extremos locales, crecimiento, concavidad. Representación gráfica de funciones. Teorema de Taylor. Aproximación de funciones mediante polinomios.
Tema 5. Integración de funciones reales de una variable real
Integral definida. Aplicaciones: Área de recintos planos, volumen y área de una superficie de revolución, longitud de curva, momento de inercia, centro de gravedad. Integral impropia. Integral indefinida.
Tema 6. Funciones reales de varias variables reales
Continuidad. Representación gráfica de superficies. Curvas de nivel. Derivadas parciales. Gradiente. Diferenciabilidad.
Tema 7. Integral múltiple
Integral doble y triple. Cambio de variables. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Aplicaciones: cálculo de áreas, volúmenes, centros de gravedad, momentos de inercia.
Tema 8. Integral curvilínea
Integral curvilínea en el plano y en el espacio. Independencia respecto a la trayectoria. Teorema de Green.
Tema 9. Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones en variables separadas, lineales, homogéneas. Ecuaciones lineales de orden n. Aplicaciones.
Tema 10. La transformada de Laplace
Concepto. Propiedades. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales.
Tema 11. Introducción al análisis de Fourier
Serie de Fourier. Desarrollo de una función periódica en serie de Fourier. Análisis armónico. La transformada discreta de Fourier. Aplicaciones.
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Tipo de tarea
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En qué consiste
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Tarea de carácter teórico
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Se avanza en la teoría del Cálculo Infinitesimal a medida que vayan surgiendo diversos problemas propios de las Ciencias y la Ingeniería. Suelen proponerse cuestiones teóricas que los estudiantes deberán resolver.
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Resolución de problemas
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Se plantean ejercicios típicos de aplicación inmediata de la teoría, pero también situaciones para las cuales no es tan fácil darse cuenta de qué conceptos están involucrados y de cómo empezar a resolverlas.
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Trabajo de ordenador
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Se proponen tareas a realizar con un ordenador, generalmente empleando la aplicación de uso libre Winplot (bajo Windows), aunque también se utiliza la hoja de cálculo Excel. |
| Resúmenes y esquemas |
Confección de esquemas y resúmenes de las ideas más importantes que apaceren en los diversos temas. |
Materiales de estudio
Para cada uno de los temas del curso, se encuentran disponibles los siguientes recursos:
Apuntes de la asignatura: Desarrollo teórico del tema.
Relación de problemas: Problemas pensados para ejercitar cada una de las competencias de la asignatura.
Laboratorio: El ordenador puede ser una herramienta muy interesante tanto para resolver problemas como para entender mejor lo que significan los conceptos (competencia 4). A lo largo de la asignatura se aprende a utilizar un programa llamado Winplot. Se trata de un software gratuito, disponible en Internet, que ocupa muy poco espacio y que tiene grandes posibilidades para aprender Análisis Matemático. Muchos de los problemas se resolverán utilizando esta aplicación. Para cada tema de la asignatura, está disponible el enunciado de las tareas a realizar con ordenador y el software necesario.
Autoevaluación
Se trata de ejercicios de examen completamente resueltos con los cuales los estudiantes pueden medir su nivel previo de conocimientos y el nivel de competencia matemática adquirida tras seguir la asignatura.
Winplot
En este apartado se encontrarán detalles para conseguir el programa Winplot, con el que se realiza la mayor parte de las tareas de ordenador. También se encontrará un breve manual que explica el uso de las funciones de Winplot que se utilizan en este curso.
Otros recursos
Colección de recursos adicionales disponibles en la Web y que pueden utilizarse como complemento.