Geometria aljebraikoa [2012/05] [eus]

Irakasgai honen helburua geometria aljebraikoaren oinarriak ezartzea da. Zehazkiago, multzo aljebraikoen eta polinomioen ideal erradikalen arteko lotura garatuko dugu, bai espazio afinean bai proiektiboan. Espazio horiek $K$ gorputzaren gainean eraikita badaude, lotura hori estuagoa da $K$ aljebraikoki itxia den kasuan. Baldintza hori onartzen badugu, oso emaitza garrantzitsu bat dugu eskura: Hilbert-en Nullstellensatz-a edo zeroen teorema delakoa. Teorema horri esker banan-banako korrespondentzia bat lortuko dugu $\mathbb{A}^n$ espazio afinaren multzo aljebraikoen eta $K[X_1,\ldots,X_n]$-ren ideal erradikalen artean. Antzera, banan-banako korrespondentzia bat dago $\mathbb{P}^n$ espazio proiektiboaren multzo aljebraikoen eta $K[X_0,\ldots,X_n]$-ren ideal erradikal homogeneoen artean, $(X_0,\ldots,X_n)$ ideal maximala alde batera uzten badugu. Korrespondentzia horiek lortu eta gero, ikusiko dugu nola erabil ditzakegun multzo aljebraikoei buruzko problemak idealen testuingurura eramateko, edo alderantzizko bidea egiteko. Adibidez, barietateak definituko ditugu, hau da, bildura gisa ezin deskonposa daitezkeen multzo aljebraikoak. Orduan, polinomioen eraztunak Noether-en eraztunak izateagatik, lortuko dugu frogatzea edozein multzo aljebraiko barietateen bildura finitu gisa deskonposatzen dela, modu bakar batean, gainera.

Erraz ulertuko da, orduan, geometria aljebraikoa garatu ahal izateko, aljebra trukakorra ezinbesteko tresna dela. Hori dela eta, irakasgaiaren lehenengo gaia aljebra trukakorrari eskaintzen diogu. Gai luze horretan, beranduago beharko diren emaitza guztien bilduma egin dugu. Bigarren eta laugarren gaietan multzo aljebraiko afinak eta proiektiboak aztertzen ditugu, hurrenez hurren, eta aurreko paragrafoan aipatutako emaitzak frogatzen ditugu. Bosgarren gaian, berriz, multzo aljebraiko afinen eta proiektiboen arteko erlazioa ikusten dugu, eta frogatuko dugu lotura hori polinomioen idealen homogeneizazioaren eta deshomogeneizazioaren bidez adieraz daitekeela.

Azkenik, azpimarratu nahi dugu alor honetan metodo konputazionalek izan duten gorakada azken hamarkadetan. Metodo horietan, funtsezkoa da Gröbnerren oinarrien teoria, irakasgaiaren hirugarren gaian aurkeztuko duguna. Teoria horren bi aplikazio ere emango ditugu: alde batetik, ideal-barnekotasunaren problema ebatziko dugu, eta bestetik, multzo aljebraiko afin baten itxidura proiektiboaren ekuazioak lortuko ditugu.