Irakasgaiaren deskribapena
Aljebra modernoaren ardatza egitura aljebraikoaren kontzeptua da. Hainbat egitura aljebraiko ikusten dira Matematikako ikasketetan, eta irakasgai honetan eraztunak eta moduluak aztertuko ditugu. Eraztun mota nagusiak ikusiko ditugu, faktorizazioaren aldetik funtzionamendu ona duten domeinuetan zentratuz: faktorizazio bakarreko domeinuetan, alegia. Adibide nagusi bat polinomien eraztunena da; koefizienteak gorputz batean badaude, horiek faktorizazio bakarreko domeinua osatzen dute. Problema algoritmiko garrantzitsu batzuk aztertuko ditugu polinomioen kasuan, Gröbnerren oinarriaren kontzeptuaz lagunduta. Azkenik, moduluen teoria jorratuko dugu. Moduluak bektore-espazioen antzekoak dira, baina eskalarrak gorputz baten gainean egon beharrean, eraztun baten gainean egon daitezke. Eraztun hori ideal nagusietako domeinua denean, moduluen egitura zehazteko gai izango gara. Emaitza horren aplikazio batzuk ere ikusiko ditugu.
1. Eraztun-teoriaren eta gorputz-teoriaren oinarrizko kontzeptuak (azpieraztunak, idealak, zatidurak, homomorfismoak, karakteristika, zatikien eraztunak...) erraztasunez erabiltzea.
2. Eraztun trukakorren mota nagusiak (integritate-domeinuak, faktorizazio bakarreko domeinuak, domeinu euklidearrak eta ideal nagusietako domeinuak) eta haien arteko erlazioak menperatzea.
3. Indeterminatu bateko edo anitzeko polinomioen zatigarritasunaren propietateak ezagutzea eta, bereziki, irreduzibilitaterako irizpideak aplikatzen jakitea.
4. Gröbnerren oinarriak eraikitzeko gai izatea, indeterminatu anitzeko polinomioen idealetarako. Oinarri horiek aplikatzen jakitea, emandako polinomio bat ideal baten barruan dagoen edo ez erabakitzeko.
5. Eraztunen gaineko moduluen teoriaren oinarrizko kontzeptuak ezagutzea eta erabiltzeko gai izatea.
6. Ideal nagusietako domeinuen gaineko modulu finituki sortuen kasuan, egitura-teorema aplikatzeko gai izatea, aljebraren problema garrantzitsu batzuk ebazteko (talde abeldar finituki sortuen egitura, endomorfismoen eta matrize karratuen forma kanonikoak).
Gaiak
1. ERAZTUNEI BURUZKO OROKORTASUNAK. Eraztunak eta azpieraztunak. Integritate-domeinuak eta gorputzak. Zatikien eraztunak. Karakteristika. K-aljebrak.
2. IDEALAK ETA HOMOMORFISMOAK. Idealak eta zatidura eraztunak. Homomorfismoak eta isomorfismoak. Isomorfismo-teoremak. Hondarraren teorema txinatarra. Ideal mota nagusiak. Zatikien eraztunen idealak.
3. ZATIGARRITASUNA ETA FAKTORIZAZIOA ERAZTUNETAN. Elementu irreduzibleak eta elementu lehenak. Faktorizazio bakarreko domeinuak. Ideal nagusietako domeinuak. Domeinu euklidearrak. Hilberten oinarriaren teorema.
4. FAKTORIZAZIOA POLINOMIOEN ERAZTUNETAN. Gaussen lema eta haren ondorioak. Irreduzibilitaterako irizpideak. Polinomio homogeneoen faktorizazioa bi indeterminatutan.
5. GRÖBNERREN OINARRIAK. Ordena monomialak. Zatiketaren algoritmo orokortua. Gröbnerren oinarriak. S-irizpidea eta Buchbergerren algoritmoa. Aplikazioak. Gröbnerren oinarri minimalak eta laburtuak.
6. MODULUAK. Moduluak, oinarrizko propietateak eta adibideak. Azpimoduluak eta zatidura moduluak. Modulu-homomorfismoak. Batura zuzenak. Modulu askeak.
7. MODULUAK IDEAL NAGUSIETAKO DOMEINUEN GAINEAN. Modulu finituki sortuen egitura ideal nagusietako domeinu baten gainean. Matrize baten Smithen forma normala eta oinarri egokituen existentzia. Aplikazioak: talde abeldar finituki sortuak eta endomorfismoen forma kanoniko arrazionala.
Aldez aurreko baldintzak
Aljebra linealaren eta talde teoriaren oinarriak menperatzea.
Metodologia
Ikastaro hau OCW plataforman dagoenez, ikasleek ez dute izango irakasleen laguntza zuzenik. Irakasgaia prestatzeko, ikasle bakoitzak hiru pauso hauek eman beharko ditu, eskaintzen den materiala erabiliz:
Kronograma
Ikasleak askatasun osoz antola dezake bere erritmoa ikastaro hau egiteko. Erreferentzia gisa, esan dezakegu seihileko batean bukatzeko pentsatuta dagoela, egunero ordubeteko arduraldia izanez gero.
Aljebra modernoaren ardatza egitura aljebraikoaren kontzeptua da. Hainbat egitura aljebraiko ikusten dira Matematikako ikasketetan, eta irakasgai honetan eraztunak eta moduluak aztertuko ditugu. Eraztun mota nagusiak ikusiko ditugu, faktorizazioaren aldetik funtzionamendu ona duten domeinuetan zentratuz: faktorizazio bakarreko domeinuetan, alegia. Adibide nagusi bat polinomien eraztunena da; koefizienteak gorputz batean badaude, horiek faktorizazio bakarreko domeinua osatzen dute. Problema algoritmiko garrantzitsu batzuk aztertuko ditugu polinomioen kasuan, Gröbnerren oinarriaren kontzeptuaz lagunduta. Azkenik, moduluen teoria jorratuko dugu. Moduluak bektore-espazioen antzekoak dira, baina eskalarrak gorputz baten gainean egon beharrean, eraztun baten gainean egon daitezke. Eraztun hori ideal nagusietako domeinua denean, moduluen egitura zehazteko gai izango gara. Emaitza horren aplikazio batzuk ere ikusiko ditugu.
1. Eraztun-teoriaren eta gorputz-teoriaren oinarrizko kontzeptuak (azpieraztunak, idealak, zatidurak, homomorfismoak, karakteristika, zatikien eraztunak...) erraztasunez erabiltzea.
2. Eraztun trukakorren mota nagusiak (integritate-domeinuak, faktorizazio bakarreko domeinuak, domeinu euklidearrak eta ideal nagusietako domeinuak) eta haien arteko erlazioak menperatzea.
3. Indeterminatu bateko edo anitzeko polinomioen zatigarritasunaren propietateak ezagutzea eta, bereziki, irreduzibilitaterako irizpideak aplikatzen jakitea.
4. Gröbnerren oinarriak eraikitzeko gai izatea, indeterminatu anitzeko polinomioen idealetarako. Oinarri horiek aplikatzen jakitea, emandako polinomio bat ideal baten barruan dagoen edo ez erabakitzeko.
5. Eraztunen gaineko moduluen teoriaren oinarrizko kontzeptuak ezagutzea eta erabiltzeko gai izatea.
6. Ideal nagusietako domeinuen gaineko modulu finituki sortuen kasuan, egitura-teorema aplikatzeko gai izatea, aljebraren problema garrantzitsu batzuk ebazteko (talde abeldar finituki sortuen egitura, endomorfismoen eta matrize karratuen forma kanonikoak).
Gaiak
1. ERAZTUNEI BURUZKO OROKORTASUNAK. Eraztunak eta azpieraztunak. Integritate-domeinuak eta gorputzak. Zatikien eraztunak. Karakteristika. K-aljebrak.
2. IDEALAK ETA HOMOMORFISMOAK. Idealak eta zatidura eraztunak. Homomorfismoak eta isomorfismoak. Isomorfismo-teoremak. Hondarraren teorema txinatarra. Ideal mota nagusiak. Zatikien eraztunen idealak.
3. ZATIGARRITASUNA ETA FAKTORIZAZIOA ERAZTUNETAN. Elementu irreduzibleak eta elementu lehenak. Faktorizazio bakarreko domeinuak. Ideal nagusietako domeinuak. Domeinu euklidearrak. Hilberten oinarriaren teorema.
4. FAKTORIZAZIOA POLINOMIOEN ERAZTUNETAN. Gaussen lema eta haren ondorioak. Irreduzibilitaterako irizpideak. Polinomio homogeneoen faktorizazioa bi indeterminatutan.
5. GRÖBNERREN OINARRIAK. Ordena monomialak. Zatiketaren algoritmo orokortua. Gröbnerren oinarriak. S-irizpidea eta Buchbergerren algoritmoa. Aplikazioak. Gröbnerren oinarri minimalak eta laburtuak.
6. MODULUAK. Moduluak, oinarrizko propietateak eta adibideak. Azpimoduluak eta zatidura moduluak. Modulu-homomorfismoak. Batura zuzenak. Modulu askeak.
7. MODULUAK IDEAL NAGUSIETAKO DOMEINUEN GAINEAN. Modulu finituki sortuen egitura ideal nagusietako domeinu baten gainean. Matrize baten Smithen forma normala eta oinarri egokituen existentzia. Aplikazioak: talde abeldar finituki sortuak eta endomorfismoen forma kanoniko arrazionala.
Aldez aurreko baldintzak
Aljebra linealaren eta talde teoriaren oinarriak menperatzea.
Metodologia
Ikastaro hau OCW plataforman dagoenez, ikasleek ez dute izango irakasleen laguntza zuzenik. Irakasgaia prestatzeko, ikasle bakoitzak hiru pauso hauek eman beharko ditu, eskaintzen den materiala erabiliz:
- Teoriako gaiak irakurtzea.
- Ariketa-orrietako problemak egitea.
- Autoebaluziorako galdetegiak egitea.
Kronograma
Ikasleak askatasun osoz antola dezake bere erritmoa ikastaro hau egiteko. Erreferentzia gisa, esan dezakegu seihileko batean bukatzeko pentsatuta dagoela, egunero ordubeteko arduraldia izanez gero.
Azken aldaketa: astelehena, 2013(e)ko irailaren 16(e)an, 18:26(e)tan