Realimentación

: Se estudia la importancia de la realimentación en el lazo de control y su efecto sobre el comportamiento del sistema. También se describe un tipo de controladores (PID) que permiten en la mayoría de los casos prácticos solucionar el problema de diseño de control.

Indice del Capítulo

7.1 Introducción
7.2 Nuevos conceptos en el lazo de control
7.3 Efectos de la realimentación sobre características del sistema en lazo cerrado
      7.3.1 Efecto sobre la Ganancia del sistema en lazo cerrado
      7.3.2 Función sensibilidad
      7.3.3 Efecto de la realimentación sobre la sensibilidad a variaciones en los parámetros
      7.3.4 Efecto de la realimentación sobre la acción de perturbaciones a la salida del sistema
7.4 Modificación de la señal de control para mejorar el comportamiento del sistema: Acciones básicas de control
      7.4.1 Acción Proporcional.
      7.4.2 Acción derivativa.
      7.4.3 Acción integral.
      7.4.4 Acción tacométrica
      7.4.5 Control PID

7.1. Introducción Ir al Indice

En el primer capítulo de la asignatura se planteó la importancia que tenía el concepto de realimentación en la Teoría de Control de Procesos. Allí se vio cómo la idea de automatizar un sistema implicaba necesariamente la realimentación: comparar la respuesta del sistema con la respuesta deseada, y dependiendo del valor de esa diferencia (error) actuar de la forma más conveniente.

El hecho de cerrar el lazo de control supone un cambio en el comportamiento general del sistema controlado. Así, es necesario introducir unos elementos nuevos como son los sensores, el controlador, etc. Evidentemente todos estos elementos cambian al sistema original. No solo cambian las ecuaciones que rigen su funcionamiento, sino que también se modifica el efecto que puede tener un cambio en algún parámetro del sistema sobre, por ejemplo, el comportameinto de la variable que se quiere controlar. Esta característica se puede definir como sensibilidad de un sistema ante cambios de alguna parte del mismo o, incluso, ante la acción de perturbaciones externas. Se verá a lo largo del capítulo que la realimentación, con la inclusión del controlador, permitirá diseñar sistemas más precisos y “robustos” con respecto a los requerimientos deseados.

En un primer lugar se van a definir una serie de conceptos y señales que aparecen al cerrar el lazo de control (señal de error, la función de transferencia en lazo abierto, ...). A continuación se estudiará el efecto que tiene la realimentación sobre varias características del sistema en lazo cerrado. Finalmente, se presentarán las conocidas como acciones básicas de control, que darán lugar a los primeros controladores que se pueden aplicar para conseguir que el sistema en lazo cerrado cumpla las especificaciones deseadas.

7.2. Nuevos conceptos en el lazo de control Ir al Indice

Como se vio en el primer capítulo, la realimentación supone captar la señal que se quiere controlar del sistema, esto es, medir su valor, y compararla con el valor que se quiere que tenga. Este hecho supone la necesidad de introducir un primer nuevo elemento en el lazo de control: el sensor, captador, medidor o, en general, elemento de la realimentación. El resultado de la comparación entre ambas señales es el que recibe el controlador para que realice sus cálculos y genere la señal que actúa sobre el sistema para que, si el diseño del control es correcto, el funcionamiento del sistema sea el deseado.

En las Figuras 7.1 se presentan un esquema de sistema con realimentación de la salida, y dos formas diferentes de representarlo mediante diagramas de bloques.

Figura 7.1:

Configuraciones en lazo cerrado

En general, en un sistema de control realimentado se pueden distinguir los siguientes bloques y señales:

Y(s): Señal de salida o respuesta del sistema. Es la variable física del sistema que se quiere controlar, esto es, llevar a un valor o forma deseados.
R(s): Señal de referencia, consigna o señal de salida deseada. Es la señal de entrada al sistema de control, y si el diseño del sistema de control es adecuado debería ser la señal de salida del sistema.
E(s)=R(s)-H(s)Y(s): Señal de error. Representa la precisión del sistema.
Er(s)=R(s)-Y(s): Error del sistema. Representa, también, la precisión del sistema de control. Hay que tener especial cuidado al estudiar estas dos últimas señales, dado que se suelen denominar igual, pero no siempre son iguales. Se estudiará con más detalle en el capítulo próximo.
G(s)=G_c(s)G_p(s): Función de transferencia de la cadena directa. La componen el controlador y el sistema, o conjunto de dispositivos que lo forman (amplificador, acondicionador de señal, planta del sistema, etc.).
H(s): Función de transferencia de la cadena de retorno o realimentación. En general, se trata de un sensor que mide la variable física de salida del sistema y la traduce a una variable susceptible de ser tratada matemáticamente (normalmente un voltaje). El valor de la ganancia de este bloque es importante en la diferenciación entre la señal de error (E(s)) y el error del sistema (Er(s)).
H(0): Es un ajuste de la ganancia de la realimentación. Si ésta no es unitaria dicho ajuste es necesario para “traducir” las dimensiones de la señal de referencia a las dimensiones que tenga la señal que transmite el elemento de la realimentación. Este elemento habitualmente es un sensor que mide la señal de salida para compararla con la de referencia. En consecuencia, este ajuste es necesario introducirlo para que las señales de referencia y la que da el sensor se puedan comparar.
G(s)H(s): Función de transferencia en lazo abierto. Es simplemente el producto de la función de transferencia de la cadena directa y de la realimentación. Su utilidad se verá en los siguientes capítulos.

7.3. Efectos de la realimentación sobre características del sistema en lazo cerrado Ir al Indice

7.3.1. Efecto sobre la ganancia del sistema en lazo cerrado Ir al Indice

Si partiendo del tercer esquema realimentado de la Figura 7.1 se considera que los bloques G(s) y H(s) no dependen de la variable s, es decir, son elementos de ganancia constante, entonces las ganancias en lazo abierto y en lazo cerrado son:

Lazo abierto (sin realimentación): G
Lazo cerrado (con realimentación):

Luego, en este caso, la realimentación modifica la ganancia en un factor H(0) 1+GH- . En general, tanto G como H dependerán de la variable s, la cual está directamente relacionada con la frecuencia. En este caso, habrá situaciones en las que |1+ GH | >1 y otras en las que |1 + GH | <1. Por tanto, la realimentación puede aumentar la ganancia en un rango de valores de s (y, por tanto, de frecuencias) y disminuirla en otro. Esto, en pocas palabras, se puede resumir diciendo que la realimentación disminuye o aumenta la ganancia del sistema para señales de entrada sinusoidales dependiendo de la frecuencia de la señal aplicada.

7.3.2. Función sensibilidad Ir al Indice

Cuando alguno de los parámetros de la planta varían, sea por envejecimiento, desgaste o por propia naturaleza, es evidente que el comportamiento de la misma cambiará. Un objetivo del diseño deberá ser, por tanto, que el sistema controlado sea lo menos sensible posible a las variaciones de los parámetros de la planta. De forma que si estos varían, el comportamiento total del sistema no se vea excesivamente modificado.

Para poder realizar un estudio del efecto de la variación de los parámetros en el comportamiento del sistema, es necesario introducir el concepto de "función de sensibilidad". Aunque dicho concepto puede definirse de varias formas, el más utilizado se refiere al porcentaje de variación de una caracterítica de la planta con respecto al porcentaje de variación del parámetro en cuestión.

Según esto, la función de sensibilidad S_α^M de la característica M con respecto al parámetro α se define como:

$SM = -%variaci´on-enM- = dM-∕M- = α-dM-- α %variaci´onenα dα∕α M dα$

Los efectos de la variación del parámetro α sobre la característica M serán mínimos si se diseña el sistema de control de forma que la función S_α^M sea mínima.

7.3.3. Efecto de la realimentación sobre la sensibilidad a variaciones en los parámetros Ir al Indice

Para ilustrar el efecto de la realimentación sobre la sensibilidad a variaciones de los parámetros se va a considerar el sistema de la Figura 7.2 donde G y G₁ son independientes de s. La función de transferencia vendrá dada por:

$Y- = GG = M R 1 LA$

Figura 7.2:

Diagrama de bloques de dos sistemas en cascada

Si se realimenta el sistema tal y como se indica en la Figura 7.3 , la función de transferencia quedará:

$Y-= M = -GG1--- R LC 1+ GH$

Figura 7.3:

Diagrama de bloques del sistema de la Figura 7.2 con una realimentación parcial

Para estudiar la influencia sobre las ganancias de los dos sistemas M_LA y M_LC de las variaciones de las diferentes ganancias G, G₁ y H se utiliza la función de sensibilidad.

Primeramente se considera la sensibilidad de la ganancia a variaciones de G:

En lazo abierto: S_G^M_LA = = = 1
En lazo cerrado: S_G^M_LC = =

Se llega a la conclusión de que la realimentación, en este caso en el que todos los elementos son constantes, disminuye la sensibilidad a variaciones del parámetro G. Bastaría aumentar el término GH para que la función de sensibilidad bajase.

En segundo lugar se va a considerar la sensibilidad de la ganancia a variaciones de G₁:

En lazo abierto: S_G₁^M_LA = = G = 1
En lazo cerrado: S_G₁^M_LC = = 1

En este caso las variaciones del parámetro G₁ influyen de igual forma en la ganancia del sistema, haya o no realimentación. Resultado lógico puesto que G₁ no está incluido en el lazo de realimentación.

Finalmente se puede hallar la sensibilidad de la ganancia a variaciones de H:

En lazo abierto: No tiene sentido el cálculo puesto que H no existe.
En lazo cerrado: S_H^M_LC = . El signo negativo indica que si H aumenta, la sensibilidad de la ganancia M_LC respecto de H aumenta, pero es de sentido opuesto.

De las sensibilidades de la ganancia en lazo cerrado ante variaciones de la realimentación S_H^M_LC y de la ganancia de la cadena directa S_G^M_LC se puede deducir que si se elige GH grande para reducir la función S_G^M_LC, entonces el sistema será más sensible a variaciones de la realimentación (S_H^M_LC aumenta).

De todo lo anterior podemos extraer dos conclusiones:

La realimentación no afecta a elementos que no están incluidos en el lazo.
La realimentación puede utilizarse para reducir la sensibilidad respecto de los elementos de la cadena directa a base de hacer el sistema más sensible respecto de los elementos de la cadena de realimentación.

Considerando ahora que los elementos dependen de s, es decir, que G es G(s) y H es H(s), las expresiones anteriores no se modifican en su forma. Por ejemplo,

SMLC (s)= -----1------ G(s) 1+ G(s)H (s)

Si se desea, en este caso, que la sensibilidad de la ganancia del sistema en lazo cerrado (M_LC(s)) sea pequeña ante variaciones de G(s) entonces se deberá diseñar el producto G(s)H(s) tal que en el rango de interés de la variable s se cumpla que |1+ G (s)H (s)| ≫1.

7.3.4. Efecto de la realimentación sobre la acción de perturbaciones a la salida del sistema Ir al Indice

En los sistemas reales existen multitud de puntos en el esquema de control en los que existen señales, conocidas como perturbaciones o ruido, que dificultan el funcionamiento correcto del control. Unas veces son señales presentes en la física del sistema estudiado y otras son introducidas al realizar el diseño de control, como por ejemplo al realizar alguna medición de las señales presentes en el sistema de control.

Dado que la señal de salida de cualquier sistema de control es necesario medirla para poder compararla con la señal de referencia o salida deseada, y cerrar así el lazo de control, el punto donde se realice dicha medición será un lugar donde de forma habitual se introduzcan perturbaciones.

Si se desea estudiar la influencia de las perturbaciones introducidas por el sensor que mide la señal de salida en el comportamiento del sistema en lazo cerrado, o la influencia de una señal externa al sistema que afecta a la variable de salida, será necesario introducir una nueva señal de entrada al sistema D(s), como se puede observar en la Figura 7.4.

Figura 7.4:

Diagrama de bloques de un sistema con perturbaciones en la señal de salida

Como ejemplo práctico se puede pensar en el control de posición de una antena de radar, donde G(s) representa la función de transferencia del motor y de los engranajes necesarios para posicionar la antena, H(s) los componentes necesarios para realizar la mediación de la señal de salida (detectores de posición, etc...) y, finalmente, D(s) simboliza cualquier influencia que actúe sobre la posición de la antena, por ejemplo el viento, además de las perturbaciones que puedan introducir los sensores de medición. En cualquier caso, para que el control sea efectivo se deberá minimizar el efecto de dichas perturbaciones sobre la salida del sistema.

A continuación se va a estudiar la eficacia de la realimentación para disminuir la influencia de las perturbaciones sobre la salida de un sistema.

En lazo abierto: La influencia de las perturbaciones en la salida del sistema es total y no es posible minimizar su efecto dado que la señal de salida es:

$Y (s) = G(s)R (s)+ D(s)$

Es decir, las perturbaciones se transmiten completamente a la salida.
En lazo cerrado: La señal de salida es:

$Y (s) =----G(s)----R(s)+ -----1-----D (s) 1+ G (s)H (s) 1+ G (s)H (s)$

Entonces, si el segundo sumando es suficientemente pequeño, para ello se empleará un sensor tal que≫ 1, es claro que se puede disminuir el efecto de las perturbaciones sobre la salida mediante el uso de la realimentación.

Al igual que en los apartados anteriores, dado que las funciones de transferencia no son constantes, no se trata de anular el término relativo a las perturbaciones en la señal de salida, sino de hacerlo suficientemente pequeño en aquellos rangos de la variable s que estén presentes en la señal de perturbación, y que no lo estén en la de entrada R(s).

7.4. Modificación de la señal de control para mejorar el comportamiento del sistema: Acciones básicas de control Ir al Indice

En cualquier sistema de control cuya estructura es la reflejada en la Figura 7.1 existe una señal de control que el controlador tendrá que generar a partir de la señal de error. En un primer paso el ingeniero de control tratará de solucionar el problema de diseño mediante la utilización de acciones de control sencillas. Pero, a menudo, no es suficiente la acción correctora utilizada y se hace necesaria la introducción de controladores complejos.

En el Capítulo 10 se estudiarán más en detalle tanto las acciones básicas de control (acciones proporcional, derivativa e integral) como otras más complejas.

7.4.1. Acción proporcional Ir al Indice

En un principio, por simplicidad, se considera la acción de control más sencilla de todas: el Control Proporcional (P) (Figura 7.5 ), en el que el controlador es simplemente una ganancia que únicamente amplifica o atenúa la señal de error para generar la señal de control según la ecuación:

$u (t) = Ke (t) =⇒ GK (s) = K$

Figura 7.5:

Diagrama de bloques de un control proporcional

siendo K la ganancia proporcional del controlador P y G_K(s) la función de transferencia del bloque correspondiente, en este caso una constante. En el Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales se puede ver un circuito electrónico sencillo que permite implementar el subsistema Controlador Proporcional.

Si las funciones de transferencia de la planta y realimentación se descomponen de la forma:

Gp(s) = NG-(s) y H (s) = NH-(s) DG (s) DH (s)

la función de transferencia del sistema en lazo cerrado con control P queda:

KNG (s)DH (s) GLC -P(s) = D-(s)D--(s)-+-KN--(s)N--(s)- G H G H

(7.1)

Se observa que el control P no modifica ni el orden ni el exceso polo-cero del sistema en lazo cerrado. Prácticamente en cualquier sistema físico se puede conseguir que el sistema mejore su precisión y sea más rápido simplemente con aumentar la ganancia del controlador proporcional, pero a costa de inestabilizarlo ya que a partir de cierto valor de K el sistema controlado en lazo cerrado puede convertirse en un sistema inestable.

Figura 7.6:

Señales de salida, error y derivada del error de un sistema ante entrada escalón unitario

En la Figura 7.6 se presenta en la primera gráfica la salida de un sistema de control con control proporcional. Se pueden obtener de su estudio las siguientes conclusiones:

El sistema presenta un rebose elevado, que se puede atribuir a que en el intervalo [0,t₁] la señal de error es positiva y demasiado grande.
En el intervalo [t₁,t₂] la señal de error es ya negativa. Por tanto, la señal de control también lo es, implicando una acción correctora del sistema a la tendencia original del mismo. De todas formas, es evidente que la acción no es del todo suficiente, pues no corrige el excesivo rebose.
En el intervalo [t₂,t₃] la señal de error sigue siendo negativa y ya hace que la salida disminuya. Observando el “rebose” hacia abajo se puede deducir que la acción correctora ha sido excesiva.
Apartir de t = t₃ se repite el razonamiento anterior.

En definitiva se puede concluir que los factores que contribuyen al elevado rebose producido son:

La señal de control en el intervalo [0,t₁] es demasiado grande.
En el intervalo [t₂,t₃] es inadecuada la señal de control negativa.

Por todo lo anterior una primera solución para reducir el rebose consistiría en disminuir la señal actuante en el intervalo [0,t₁] y aumentarla en [t₂,t₃]. Observando la forma de la señal derivada del error (Figura 7.6) se deduce que si la señal de control tiene una componente proporcional a dicha señal, se puede conseguir el efecto deseado de reducir el rebose.

En resumen, las características del control P son:

Ante cambios bruscos en la señal de salida o referencia produce cambios también bruscos en la señal de control, que es la que recibe el sistema a controlar.
Una señal de error grande produce una señal de control grande, que puede ser peligroso al ser la entrada al sistema.
Generalmente, valores elevados de la constante proporcional genera salidas oscilatorias.
No corrige una señal de error no nula en el permanente.

7.4.2. Acción derivativa Ir al Indice

Teniendo en cuenta las características de la señal de error y de su derivada estudiadas en la sección anterior, si a la acción de control del regulador proporcional se le añade una acción que derive la señal de error (Figura 7.7) se obtiene el controlador proporcional-derivativo (PD).

Figura 7.7:

Diagrama de bloques de un sistema con control proporcional-derivativo (PD)

La ecuación que rige su funcionamiento del controlador PD es:

$u(t) = Ke (t)+ Kd de(t)-=⇒ GP D (s) = K + Kds = K (1+ Tds) dt$

donde K es la ganancia de la acción proporcional, T_d=K_d∕K la constante de tiempo de la acción derivativa, o constante derivativa, y G_PD(s) la función de transferencia del bloque de control correspondiente. En el Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales se pueden ver dos circuitos electrónicos que implementan el subsistema Controlador PD.

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado con control PD queda:

GLC -P D(s) =-------K-(1-+-Tds)NG(s)DH-(s)------- DG (s)DH (s)+ K (1+ Tds)NG (s)NH (s)

(7.2)

Se observa que, al igual que con el control P (7.1), no se modifica el orden del sistema en lazo cerrado¹, pero en este caso sí el exceso polo-cero, dado que el control PD introduce un cero en lazo cerrado (s=-1∕T_d).

Observando la forma de la señal de error y de su derivada de la Figura 7.6 se puede concluir que:

En el intervalo [0,t₁] la señal derivada del error es negativa y, por tanto, se reducirá la señal positiva debida únicamente a la señal de error.
En el intervalo [t₁,t₂] tanto la señal de error como su derivada son negativa y, por tanto, la señal de control resultante será mayor que en el caso proporcional.

En consecuencia, el rebose resultante con la aplicación del control PD será inferior al del control P, aunque en contrapartida, generalmente, será a costa de una velocidad de respuesta inferior, esto es, de unos tiempos de subida, retardo y, muchas veces, de pico superiores.

De todo el razonamiento anterior se puede concluir que la acción derivativa le da un carácter anticipativo al control. Cuando la salida del sistema presenta una pendiente pronunciada es de prever que el rebose será grande. El controlador lo detecta al calcular la derivada de la señal de error y actúa en consecuencia.

Como inconveniente del control PD se observa que si la señal de error fuese constante (se trataría de un sistema con error estacionario no nulo en lazo cerrado), dado que el segundo término de la señal de control es proporcional a la derivada de la señal de error, la acción de control no se modificaría con respecto a la generada por un controlador P y, por lo tanto, el sistema no sería capaz de detectar el error y corregirlo mediante una acción correctora adecuada (al igual que ocurre con el control P).

En este sentido, supongamos que un sistema como el de la Figura 7.5 presenta un error en el permanente como se observa en la Figura 7.8, que en definitiva quiere decir que no tiene ganancia unitaria (G_LC(0)≠ 1).

Figura 7.8:

Señales de salida y error de un sistema con ganancia no unitaria en lazo cerrado

Es evidente que el sistema en lazo cerrado no es capaz de seguir a la referencia, o lo que es lo mismo, la señal de control no es adecuada para que la de salida sea la deseada. Observando la estructura del sistema en lazo cerrado (Figura 7.5) se puede deducir el siguiente razonamiento:

y(∞ ) = cte ⇒ u(∞ ) = cte ⇒ e(∞ ) = cte = ep

Si se aplica un control PD a este sistema, se observa que al ser constante la señal de error en el estacionario (t→∞) la señal de control permanece inalterable, esto es, el controlador no detecta el error:

| u (∞ ) = Ke (∞ )+ K de(t)|| = Ke(∞ ) = u (∞ ) P D d dt |t→ ∞ P

Por tanto, es evidente que será necesario añadir algún tipo de acción nueva en la señal de control para que se detecte un error constante y el controlador lo corrija.

En resumen, las características del control PD son:

El valor de constante o tiempo derivativo determina la mayor o menor importancia de la acción derivativa del control.
Ante cambios bruscos en la señal de salida o referencia produce cambios muy bruscos de amplitud en la señal de control, que es la que recibe el sistema a controlar.
La acción derivativa se opone a las desviaciones respecto del valor de la señal de referencia. Es un tipo de control de anticipación.
No corrige una señal de error no nula en el permanente.
Mejora el amortiguamiento y reduce el rebose.
Reduce, en general, el tiempo de establecimiento.
No es recomendable para sistemas con pequeño amortiguamiento o inicialmente inestables.
Si se implementa analógicamente ( Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales), puede requerir un capacitor muy grande.
Amplifica las señales de ruido de alta frecuencia.

7.4.3. Acción integral Ir al Indice

Si a la acción de control del regulador proporcional se le añade una acción que integre la señal de error se obtiene el controlador Proporcional-Integral (PI) (Figura 7.9). De esta forma se consigue evitar el problema que aparecía con el control PD dado que al integrar la señal de error, si ésta es constante la acción correctora aumenta hasta corregir el error. Así, se consigue aunar la regulación lo suficientemente rápida que proporciona el control Proporcional, con la precisión en el estacionario del control Integral.

La ecuación dinámica y la función de transferencia del controlador PI es:

$∫ t u(t) = Ke(t)+ K e(τ)dτ =⇒ G (s) = K + Ki-= K(1 + -1-) i 0 P I s Tis$

donde K es la ganancia de la acción proporcional, y T_i=K∕K_i la constante de tiempo de la acción integral o constante integral.

Figura 7.9:

Diagrama de bloques del controlproporcional-integral (PI)

En el Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales se pueden ver dos circuitos electrónicos que implementan el subsistema Controlador PI.

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado con control PI es:

G (s) = -------K-(1-+Tis)NG-(s)DH-(s)-------- LC-P I TisDG (s)DH (s)+ K (1+ Tis)NG (s)NH (s)

(7.3)

Se observa que, comparando con el control P (7.1), se modifica el orden del sistema (se aumenta en una unidad) y se introduce un cero (s=-1∕T_i) en la función de transferencia en lazo cerrado, quedando por ello inalterable el exceso polo-cero. Este aumento de orden es un inconveniente dado que, generalmente, supone un aumento de la inestabilidad (pudiendo, incluso, llegar a ser inestable el sistema en lazo cerrado).

Finalmente, se pueden condensar las características de la acción proporcional-integral en el siguiente listado:

Permite eliminar errores en régimen permanente mientras se mantenga la desviación de la señal de salida.

La acción integral tiene un efecto acumulativo y según pasa el tiempo y persiste la desviación va actualizándose. En los instantes iniciales es la acción proporcional la que actúa en mayor medida.
El valor de la constante o tiempo integral determina la mayor o menor importancia de la acción de control integral. Valores pequeños de la constante T_i genera, habitualmente, salidas oscilatorias.
Filtra el ruido de alta frecuencia.
En el caso de implementarlo analógicamente ( Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales), el problema de seleccionar una combinación adecuada de las constantes integral y proporcional para que el capacitor del controlador no sea excesivamente grande, es más complejo que en el caso del controlador PD.

7.4.4. Acción tacométrica Ir al Indice

En ocasiones es complejo el acceso a la derivada de la señal de error o, simplemente, no es apropiado su uso cuando se producen cambios bruscos en la señal de entrada (habitual, por otra parte, cuando la referencia es la señal escalón). En estos casos, la utilización de la derivada para mejorar el amortiguamiento del sistema en lazo cerrado puede aplicarse a la señal de salida en vez de a la de error (Figura 7.10), obteniéndose un efecto similar al logrado con el controlador PD en la cadena directa (sección 7.4.2). Este tipo de estrategia se conoce como control tacométrico.

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado con control tacométrico es:


$KN (s)D (s) GLC -taco(s) =--------------G----H-------------- DG (s)DH (s)+ K (1 +Tts)NG (s)NH (s)$	(7.4)

Comparándola con la función de transferencia en lazo cerrado con control PD (7.2) se observa que son idénticas excepto en que el control PD introduce un cero (s=-1∕T_d), lo que no hace el control tacométrico.

Teniendo en cuenta lo estudiado en la sección referente al sistema de segundo orden con cero adicional del capítulo anterior, se llega a la conclusión de que el control tacométrico produce en la salida del sistema un rebose inferior (amortiguamiento mayor) que el control PD (por la presencia del cero adicional en el control PD), así como una velocidad de respuesta menor (mayores tiempo de subida, retardo y generalmente de pico).

Figura 7.10:

Diagrama de bloques del control tacométrico

7.4.5. Control PID Ir al Indice

Si se reúnen las tres acciones básicas de control, esto es, se genera la señal de control a partir de una combinación lineal de la señal de error, su derivada y su integral, se obtiene el controlador más general, el Proporcional-Integral-Derivativo (PID). Este tipo de controlador consigue la rapidez de respuesta causada por la acción proporcional, la reducción del rebose por la acción derivativa y la anulación del error estacionario por la parte integral. La ecuación diferencial y la función de transferencia del controlador PID es:

∫ u(t) = Ke (t)+ Ki t0 e(t)dt+ Kd de(dtt) GP ID(s) = K + Kis + Kds = K(1 + 1Ts-+Tds) i

donde K es la ganancia proporcional, y T_d=K_d∕K y T_i=K∕K_i las constantes de tiempo de la acción derivativa e integral, respectivamente.

La función de transferencia en lazo cerrado con este controlador es:

( ) G (s) =--------K--1+-Tis+-TdTis2-NG-(s)DH-(s)------- LC -PID sTiDG (s)DH (s)+ K (1+ Tis+ TdTis2)NG(s)NH (s)

En el Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales se puede ver un ejemplo de circuito electrónico que implementa el Controlador PID.

Las características del controlador PID son un compedio de las del PD y PI, y se pueden resumir en:

Reune las ventajas y desventajas de los controladores PD y PI.
El valor de las constantes de tiempo integral y derivativa determinan la importancia de las acciones integral y derivativa, respectivamente.
Valores bajos de la constante de tiempo integral (T_i) dan lugar generalmente a salidas oscilatorias. El mismo efecto se produce con valores altos de la constante de tiempo derivativa (T_d).

Sin embargo, se observa que los controladores PID estudiados (son ideales) dan lugar a ciertos problemas de estabilidad, sensibilidad, excesivo ancho de banda en algunos casos, etc. y, por ello, será necesario en muchos casos modificarlos, suavizando sus efectos ( Apéndice 2. Modificaciones al control PID).