APROXIMACIÓN  NUMÉRICA.

El comando Fit

El comando Fit permite obtener la función de aproximación que mejor se ajusta, según el criterio de mínimos cuadrados,  y en el caso lineal, a un conjunto de datos. Dicha función de aproximación se calcula como combinación lineal de un conjunto de funciones. Si dichas funciones son : { 1, x, (x^2), .. }, el ajuste es de tipo polinómico, pero se pueden utilizar también otro tipo de funciones como exponenciales, trigonómétricas, etc..
 
 La forma básica de este comando es la siguiente:
 Fit[datos, funciones, variables}
 
 Ejemplo : Calcular la recta y parábola que mejor se ajustan al siguiente conjunto de datos que vienen dados en la siguiente tabla : ({{"\!\(x\_i\)", 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {"\!\(f\_i\)", 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}})
 Representar gráficamente el conjunto de puntos junto con cada una de las dos aproximaciones obtenidas. Calcular los errores cuadráticos medios cometidos en cada ajuste.

1º.- Cálculo de la recta y la parábola

datos={{1,2},{2,3},{3,5},{4,7},{5,11},{6,13},{7,17},{8,19},{9,23},{10,29}};

p1[x_]=Fit[datos,{1,x},x];p2[x_]=Fit[datos,{1,x,x^2},x];

2º.- Gráficas

puntos=ListPlot[datos,PlotStyle->PointSize[0.02],AxesOrigin->{0,0}]

recta=Plot[p1[x],{x,0,10},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

Show[recta,puntos]

parabola=Plot[p2[x],{x,0,10},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

Show[parabola,puntos]

3º.- Errores

e1=(∑_(i=1)^10)(((datos[[i,2]]-p1[datos[[i,1]]]))^2)

(Sqrt[e1/10])

e2=(∑_(i=1)^10)(((datos[[i,2]]-p2[datos[[i,1]]]))^2)

(Sqrt[e2/10])

Ejercicios

1º.- Hallar el polinomio que mejor se ajuste a los datos de la siguiente tabla utilizando la técnica de mínimos cuadrados:
({{"\!\(x\_i\)", 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {"\!\(f\_i\)", 4, 7, 9, 10, 9, 7, 4}})

2º.- Ajustar los datos de la tabla siguiente mediante una parábola mediante la técnica de mínimos cuadrados. Determinar el error mínimo cuadrático.
({{"\!\(x\_i\)", 0.`, 0.25`, 0.5`, 0.75`, 1.`}, {"\!\(f\_i\)", 1.`, 1.284`, 1.6487`, 2.117`, 2.7183`}})

3º.- Dada la tabla :
({{"\!\(x\_i\)", 1.`, 1.25`, 1.5`, 1.75`, 2.`}, {"\!\(f\_i\)", 5.1`, 5.79`, 6.53`, 7.45`, 8.46`}})
utilizar la técnica de mínimos cuadrados para obtener el mejor ajuste de estos valores. Realizar en primer lugar la representación gráfica de los puntos. A partir de la misma se observa que las funciones que mejor se pueden aproximar son:
a) Una recta
b) Una exponencial.
	b1) Linealizando los datos.
	b2) Utilizando el comando Fit y la exponencial obtenida en el apdo anterior.	
Calcular los errores cuadráticos medios en ambos casos para decidir cuál es el mejor ajuste.

4º.- Cuando el crecimiento de una población está acotado por un valor constante L sigue una curva logística de la forma :
y(x) = (L/(1+(Be^Ax))) . Realizando el cambio de variable adecuado (L/y -1 = B (e^Ax) ) encontrar la curva logística correspondiente a L = 800 millones, para los datos de la tabla :
({{"Año", 1850, 1900, 1950, 2000}, {"\!\(x\_i\)", -10, -5, 0, 5}, {"\!\(y\_i\)", 5.3`, 23.2`, 76.1`, 152.3`}})
Estimar la población del año 2050.

5º.- Realizar un ajuste de la forma f(x) = A cos(x) + B sen(x) para los datos de la siguiente tabla:

({{(Subscript[x, k]), (Subscript[y, k])}, {-3.`, -0.138500000000000023`}, {-1.5`, -2.15870000000000006`}, {0.`, 0.833000000000000007`}, {1.5`, 2.27740000000000009`}, {3.`, -0.511000000000000031`}})
Calcular el error cometido y representar gráficamente los puntos dados y la función de ajuste.