Practica nº4: Interpolación polinomial

Uso del comando interno de Mathematica

En esta práctica estudiaremos cómo construir el polinoimio  interpolador de un conjunto de datos. Mathematica posee un comando muy flexible y versátil, 
	InterpolatingPolynomial[nube,var], 
que permite construir el polinomio correspondiente:

nube={{0,2},{2,5},{-2,1}};
p[x_]=InterpolatingPolynomial[nube,x]

Observe que el resultado se ofrece en forma de Newton. Para obtener la forma 
estándar, basta expandir el polinomio:

Expand[p[x]]

Veamos el resultado gráficamente:

pt=ListPlot[nube,PlotStyle->{PointSize[0.05]}];
pol=Plot[p[x],{x,-2.5,2.5}];
Show[pol,pt]

Problema 1:

a) Tabule los valores de la función g(x)=Log[x+1/x] en los nodos x=0.1, 0.2, 0.3,0.4,0.5. 
	
b) Interpole la nube de puntos obtenida mediante el comando Interpolating Polynomial y halle una aproximación de g(0.26). 
c) Estime el error de interpolación en ese punto.  restando al valor exacto el valor aproximado.
d) dibujar la funcion diferencia g(x) -p(x).

Problema 2 :Polinomio de Lagrange. Construcción de las funciones de base de Lagrange

En caso de necesidad, podemos construir directamente los polinomios básicos de Lagrange
                  (Subscript[L, i]) (x)=(∏_(j≠i))(((x-(Subscript[x, j])))/(((Subscript[x, i])-(Subscript[x, j]))))
usando las capacidades del Mathematica para operar con listas:

Sea f(x)=Log[10,Tan(x)].A partir de los valores:f(1.00)=0.1924,f(1.05)=0.2414,f(1.10)=0.2933 y f(1.15)=0.3492
se pide:
1º.-Calcular el polinomio de interpolación de Lagrange.
Para ello, seguir los siguientes pasos.
- Generar la lista de nodos xi
- Plantear una lista L con elementos unidad donde se almacenarán los Li(x)
- Calcular los Li(x) y almacenarlos
- crear un vector y con los valores f(xi)
El polinomio sera el producto escalar de los vectores y.L	

2º.-Utilizar dicho polinomio para obtener un valor aproximado de f(1.09)
4º.-Representar el error cometido, graficamente.

Problema 3: Polinomios interpoladores de Newton

1.- Calcular el polinomio interpolador de Newton para la misma función, mediante diferencias finitas.
	-Calcular las diferencias finitas.
	- Plantear el polinomio interpolador de newton.
2.- Calcular el error dibujando la función diferencia

Efecto runge

- Interpolacion polinómica de la función f(x)=(1/((1+x^2))) en el intervalo-5,5 utilizando once puntos igualmente espaciados, mediante diferencias finitas.
- Dibujar la función f(x)
- Dibujar simultaneamente f(x) y p(x)

Aproximación mediante splines cúbicos

-Utilizar el comando Spline para obtener un spline cübico que ajuste la función f(x)=(1/((1+x^2))) en el intervalo -5,5 utilizando once puntos igualmente espaciados.
-Dibujar simultaneamente la función f(x) y el spline cúbico