Practica nº3:  Raices de Ecuaciones no lineales

Resolución de una ecuación no lineal

Calcular la raiz de la ecuacion f(x)=(1+x)Sin[x]-1 en el intervalo ( 0. , 1. )
Utilizando el método de Bisección, Punto fijo, Newton-Raphson y Secante
Con un error menor que (10^(-6))

Biseccion

Newton-Raphson

Secante

Calcular la raiz de la ecuacion f(x)=(1+x)Sin[x]-1 en el intervalo ( 0. , 1. )
Utilizando el método de Punto fijo, estudiando las condiciones de convergencia para la función g(x) utilizada.
Resolver el problema con un error menor que (10^(-6))

Punto fijo

Función utilizada

g[x_]:=ArcSin[(1/(1+x))]

Condiciones de convergencia

Proceso iterativo

Raices Múltiples

Sea p(x) el polinomio de grado 4,
	p(x)=7.14292992000000026`-20.047104` x+19.095600000000001` (x^2)-7.45000000000000017` (x^3)+(x^4),
Se pide:
1) Representar gráficamente p(x).
2) Utilizar el comando Factor para obtener sus raices.
3) Utilizar el comando FindRoot para obtener sus raices dando distintas aproximaciones iniciales. ¿Qué ocurre cuando éstas están cercanas a la raiz múltiple?, ¿Y si están próximas  a las otras raices?
4) Utilizar el mdo. de Newton-Raphson con una aproximación inicial x0=1.4, una precisión de (10^(-6))  y un nº máximo de iteraciones igual a 25. Hacer los cálculos con una precisión de 12 dígitos ( N[ expr,12]).
	La fórmula de recursión es:(Subscript[x, i+1]) = (Subscript[x, i]) - p((Subscript[x, i])) / p’((Subscript[x, i]))
5) Repetir el apdo. anterior con el mdo. de NewtonRaphson acelerado (valor de m=2).
	La fórmula de recursión es:(Subscript[x, i+1]) = (Subscript[x, i]) - m . p((Subscript[x, i])) / p’((Subscript[x, i]))
6) Idem. con el mdo. de Halley.
	La fórmula de recursión es:
(Subscript[x, i+1]) = (Subscript[x, i]) - 2. p((Subscript[x, i])). p’((Subscript[x, i])) /( 2 . p’((Subscript[x, i])). p’((Subscript[x, i])) - p((Subscript[x, i])). p’’((Subscript[x, i])))
7) Idem. con el mdo. de Newton-Raphson modificado para raices múltiples.
	La fórmula de recursión es:
(Subscript[x, i+1]) = (Subscript[x, i]) -  p((Subscript[x, i])). p’((Subscript[x, i])) /(  p’((Subscript[x, i])). p’((Subscript[x, i])) - p((Subscript[x, i])). p’’((Subscript[x, i])))

1) Representar gráficamente p(x).

2) Utilizar el comando Factor para obtener sus raices.

3) Utilizar el comando FindRoot para obtener sus raices dando distintas aproximaciones iniciales. ¿Qué ocurre cuando éstas están cercanas a la raiz múltiple?, ¿Y si están próximas  a las otras raices?

4) Utilizar el mdo. de Newton-Raphson con una aproximación inicial x0=1.4, una precisión de (10^(-6))  y un nº máximo de iteraciones igual a 25. Hacer los cálculos con una precisión de 12 dígitos ( N[ expr,12]).
	La fórmula de recursión es:(Subscript[x, i+1]) = (Subscript[x, i]) - p((Subscript[x, i])) / p'((Subscript[x, i]))

5) Repetir el apdo. anterior con el mdo. de NewtonRaphson acelerado (valor de m=2).
	La fórmula de recursión es:(Subscript[x, i+1]) = (Subscript[x, i]) - m . p((Subscript[x, i])) / p'((Subscript[x, i]))

6) Idem. con el mdo. de Halley.
	La fórmula de recursión es:
(Subscript[x, i+1]) = (Subscript[x, i]) - 2. p((Subscript[x, i])). p'((Subscript[x, i])) /( 2 . p'((Subscript[x, i])). p'((Subscript[x, i])) - p((Subscript[x, i])). p''((Subscript[x, i])))

7) Idem. con el mdo. de Newton-Raphson modificado para raices múltiples.
	La fórmula de recursión es:
(Subscript[x, i+1]) = (Subscript[x, i]) -  p((Subscript[x, i])). p'((Subscript[x, i])) /(  p'((Subscript[x, i])). p'((Subscript[x, i])) - p((Subscript[x, i])). p''((Subscript[x, i])))

Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales

Resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incognitas:
3 (Subscript[x, 1])-cos[(Subscript[x, 1]).(Subscript[x, 2])]-1/2 = 0
(Subscript[x, 1]^2)-81.((((Subscript[x, 2]) + 0.1))^2)+sen((Subscript[x, 3]))+1.06 = 0
Exp(-(Subscript[x, 1.])(Subscript[x, 2])) + 20.(Subscript[x, 3]) + (10π - 3)/6 = 0
mediante el mdo. de Newton, siguiendo los siguientes pasos:
1º.- Definición del sistema
2º.- Definir la matriz Jacobiana
3º.- Realizando las iteraciones a mano.(ejecutando progresivamente los comandos, sin ciclo)
4º.- Realizando las iteraciones automáticamente con criterio de parada que el max. valor absoluto de la diferencia de las aproximaciones para cada una de las incognitas sea menor que (10^(-5))
5º.-Resolver con el comando FindRoot.

1º.- Definición del sistema

2º.- Definir la matriz Jacobiana

4º.- Realizando las iteraciones automáticamente con criterio de parada que el max. valor absoluto de la diferencia de las aproximaciones para cada una de las incognitas sea menor que (10^(-5))

5º.-Con el comando FindRoot.