Práctica 4        

ESTIMACIÓN

Para calcular la media y varianza de una distribución discreta

Needs["HypothesisTesting`"]

nc=RandomReal[{1,2},20]

Para obtener la media y la varianza de una distribución por punto se define mediante:

Print["La media de la distribución es = ",Mean[nc]]

Print[", siendo su varianza = ",Variance[nc]]

Los estimadores puntuales de las medias (OverHat[(Subscript[S, A])]), es el valor de la desviación típica:

Print["(OverHat[(Subscript[S, A])]) = ",StandardDeviation[nc]]

siendo la desviación típica es la raiz cuadrada de la varianza.

Print["  \!\(\*OverscriptBox[OverscriptBox[\(\\ \), SubscriptBox[\(S\), \(A\)]], \(^\)]\) -> ",Sqrt[%]]

Si lo que se desea es una estimación por intervalo deberemos definir los comandos y el intervalo de confianza.

Si queremos definir un nivel de confianza del 99%:

MeanCI[nc,ConfidenceLevel->.99]

Pues el nivel de confianza Standard con el que trabaja es del 95% tanto en la estimacón de la varianza:

VarianceCI[nc,ConfidenceLevel->.95]

como en la estimación de la media:

MeanCI[nc]

Recordar que la formula utilizada para estimar la media es

n=Length[nc];
d=StudentTDistribution[n-1];
μ=Mean[nc];
(OverHat[s])=StandardDeviation[nc];
t=Quantile[d,.975];

MeanCI[nc]=={μ-t((OverHat[s])/(Sqrt[n])),μ+t((OverHat[s])/(Sqrt[n]))}

Remove["Global`*"]

Cambiando las condiciones tambien se pueden resolver  problemas:

Needs["HypothesisTesting`"]

Pe. Problema 8  de los propuestos en libro de prácticas de estadística con Mathematica:

Problema 8

Se han realizado 10 mediciones sobre la resistencia de un cierto tipo de alambre, obteniendo que (OverBar[x]) =10.48 Ω siendo (OverHat[S]) = 1.36Ω. Suponiendo que la resistencia sigue una distribución normal 
a) Valor medio de la resistencia de este tipo de alambre para un nivel de confianza del 99%

Solución:

Es evidente que la muestra es pequeña (n = 10). Luego el análisis estadístico varia:

(OverBar[x])=10.48; (OverHat[S])=1.46; n=10; α=1-.99;

StudentTCI[(OverBar[x]),(OverHat[S])/(Sqrt[n]),n-1,ConfidenceLevel->1-α]

b) Calcular un intervalo de confianza del 95% para la varianza de la resistencia

Remove[α];

α=1-.95;

cd=ChiSquareDistribution[n-1];

(Subscript[c, 025])=Quantile[cd,1-(α/2)]

(Subscript[c, 975])=Quantile[cd,α/2]

Print["Intervalo de confianza = ",{(((n-1)*((OverHat[S])^2))/(Subscript[c, 025])),(((n-1)*((OverHat[S])^2))/(Subscript[c, 975]))}]

Problema 3
Una cierta variable aleatoria se distribuye normalmente con varianza 0.64 ¿Cual ha de ser el tamaño de la muestra para que con probabilidad 0.95, la media muestral difiera de la media poblacional en menos de 0.3 ?

Remove[x,n]

l=NormalCI[(OverBar[x]),(Sqrt[.64])/(Sqrt[n])]

Solve[l[[2]]-(OverBar[x])==.3,n]

Problema 4

Dar una estimación, al nivel de confianza 0.99 del porcentaje de elementos defectuosos en un lote, teniendo en cuente que en una muestra de 200 unidades se han encontrado 19 defectuosos.

Solución:

r=19;n=200;(OverHat[p])=r/n;α=1-.99;
dn=NormalDistribution[0,1];

z=Quantile[dn,1-(α/2)];

Print["Intervalo de confianza = ",{(OverHat[p])-z*(Sqrt[(((OverHat[p])(1-(OverHat[p])))/n)]),(OverHat[p])+z*(Sqrt[(((OverHat[p])(1-(OverHat[p])))/n)])}]

Para estimar el cociente de estimaciones entre dos cuasivarianzas muestrales deberemos acudir a la distribución a la F de Snedecor

??FRatioDistribution

Por ejemplo, en el supuesto del problema 5:

Problema 5

Se supone que el consumo en electricidad de dos almacenes de tamaño similar en una empresa sigue una distribución normal. Habiéndose observado los consumos durante 10 y 13 días elegidos al azar, se han observado, respectivamente,  las siguientes cuasivarianzas muestrales:

									(Subscript[(OverHat[s]), 1]^2)=932,                                     (Subscript[(OverHat[s]), 2]^2)=397

Determinar un intervalo de confianza al nivel del 95% para el cociente de variaciones poblacionales

Solución:

(Subscript[(OverHat[v]), 1])=932;(Subscript[(OverHat[v]), 2])=397;na=10;nb=13; α=1-.95;

fd=FRatioDistribution[na-1,nb-1];

(Subscript[f, .025])=Quantile[fd,1-(α/2)];

(Subscript[f, .975])=Quantile[fd,α/2];

Print["Intervalo de confianza = ",{(((Subscript[(OverHat[v]), 1])/(Subscript[(OverHat[v]), 2]))/(Subscript[f, .025])),(((Subscript[(OverHat[v]), 1])/(Subscript[(OverHat[v]), 2]))/(Subscript[f, .975]))}]

Mediante esta práctica hemos definido los intervalos de confianza por punto y por intervalo. El problema 8nos ha permitido definir el intervalo de confianza mediante la t de Student asi como el de las varianzas mediante la chi cuadrado. El problema 4 nos ha definido el intervalo de confianza de una distribución normal y el problema 3 nos ha permitido calcular el valor de (n) para el muestreo con un determinado nivel de confianzaa. Finalmente el problema 5 nos ha definido el cociente de varianzas entre dos distribuciones a traves de la F de Snedecor.