Problemas Ir teoría del Capítulo 9 (Lugar de las Raíces)

Dibujar el lugar de las raíces (LR) de un sistema de ecuación característica en lazo cerrado :

$3 2 s +3s + (K + 2)s+ 10K = 0$
Un sistema con realimentación unitaria tiene por Función de Transferencia en cadena abierta: $K (s + 8) G (s) = (s--1)(s+-3)(s+-5)$

a) ¿Es estable en lazo abierto? ¿Existe K para que lo sea en lazo cerrado?
b) Obtener el LR.
c) Para K = 50 ¿presenta oscilaciones?
Sea un sistema de control con realimentación unitaria cuya Función de Transferencia en lazo abierto es: $K G(s) = s(s+-1)(s+-3)-$

Utilizando la técnica del LR, determinar el valor de K de modo que los polos dominantes en lazo cerrado tengan una relación de amortiguamiento de 0,5.
Aplicando la técnica del LR al sistema de la Figura , hallar al ganancia K y K_t de forma que se satisfagan las especificaciones siguientes para el sistema en lazo cerrado:

a) Amortiguamiento = 0,707
b) Tiempo de establecimiento de 1 seg. (T_p = )
Demostrar que el punto s = -1 ± j está sobre el LR de : $-------K--------- KG (s)H(s) = (s +1)(s+ 2)(s+ 4) K > 0$

y determinar el valor de la ganancia K en dicho punto.
Hallar el LR para un sistema de Función de Transferencia en lazo abierto: KG(s)H(s) = .
Obtener el contorno de las raíces según el parámetro a de un sistema cuya Función de Transferencia en lazo abierto es: $KG (s)H(s) =--K-(s+-2)a-- s(s+ a)(s+ 1)$

y que cumple la especificación en lazo cerrado K_v = 2.
Para el valor de K anterior obtener el valor de a para que %R = 16% en lazo cerrado.
Trazar el Lugar de las raíces para la configuración de ceros y polos de la Figura .
Trazar el Lugar de las raíces del sistema cuya Función de Transferencia en lazo abierto es: $KG (s)H (s) = K-(s+-1)(s+-2)- s3(s + 10)2$

Se dijo en Teoría: “Sistema de tipo ≥ 1 tienen señal de error nula en el permanente ante entrada escalón”. Y en cambio si estudiamos detenidamente este sistema, dependiendo de la configuración de la planta, controlador y realimentación la salida tenderá a un valor diferente.

Razonar la aparente contradicción de ambos comentarios dado que el sistema es de tipo 3.
Sea un sistema cuyo LR es el de la Figura. Asignar a cada configuración de 3 polos del sistema en lazo cerrado la respuesta temporal aproximada.
Dado el diagrama de polos y ceros de la Figura , encontrar el valor de b para que el lugar de las raíces tenga un solo punto de dispersión. Una vez hallado b dibujar el Lugar de las Raíces. Y finalmente, hállese el valor de la ganancia K para que la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario tenga un coeficiente de amortiguamiento δ = 0,5.
Trazar el lugar geométrico de la situación de los polos en lazo cerrado de un sistema de función de transferencia G_p(s) = , con ganancia proporcional K positiva y realimentación unitaria positiva.
Sea un sistema de control con realimentación unitaria cuya Función de Transferencia en lazo abierto es:

$KG (s)H(s) = K---1---- K > 0 s2(s+ 1)$

¿Para qué valores de K es estable el sistema?. Trazar el Lugar de las Raíces.

Si se modifica el sistema añadiendo un cero en la cadena directa: KG(s)H(s) = K, ¿La presencia del cero estabiliza el sistema?. Trazar el Lugar de las raíces.

¿Cual debe ser la posición del cero añadido para que los polos dominantes del sistema en lazo cerrado sean tales que δ = ω_n = 0,5?. ¿Qué valor se debe dar a la ganancia K?. ¿Qué rebose tendrá el sistema en lazo cerrado ante entrada escalón?
Un dispositivo de desplazamiento por el espacio sin ataduras mediante el uso de un chorro de gas puede modelizarse según refleja la Figura . El regulador puede representarse por una ganancia K₂. La inercia del dispositivo y el piloto es de I = 25 Kg.m²

(a) Determínese la ganancia necesaria K₃ para mantener un error en estado estacionario (r(∞) - y(∞)) igual a 1 cm. cuando la entrada es una rampa r(t) = t (metros).

(b) Con esta ganancia K₃, determínese la ganancia necesaria K₁K₂ para restringir el rebose porcentual al 10%.

(c) Obtener el Lugar de las Raíces y determinar las diferentes salidas que dan lugar los diferentes valores de la ganancia K₁K₂.
Trazar el Lugar de las Raíces del sistema representado en la Figura a. Si se añade en cascada un bloque de Función de Transferencia G₁(s) = (s + 1)(s + 2) (Figura b):

a) Trazar el nuevo Lugar de las Raíces.

b) Por simple inspección del nuevo LR, determínese cual de los dos sistemas es más estable.

c) Determinar el tipo de la respuesta del sistema en lazo cerrado al variar la ganancia K.

d) Calcular los 3 primeros coeficientes dinámicos de error y con ellos la salida en el permanente para la entrada r(t)=1+t-t². ¿Se podría haber obtenido la forma de la salida sin necesidad de obtener los coeficientes dinámicos de error?
Sea la planta G_p(s) = . Se desea controlar con una red de Función de Transferencia: G_c(s) y realimentación unitaria. Obtener K y b de tal forma que en lazo cerrado debe tener 2 polos dominantes situados en rectas que formen un ángulo de 135° y 225° respecto del eje real positivo pasando por el origen, siendo ω_n = la frecuencia natural correspondiente a ese par de polos dominantes.
¿Cuál es el error estacionario ante entrada escalón, y ante entrada rampa?.
¿Es realmente dominante la pareja de polos?. ¿Cómo sería el amortiguamiento respecto al caso del sistema sin el tercer polo?.
Se diseña un sistema de control como el de la Figura para satisfacer las siguientes especificaciones:

a) Error en régimen estacionario para entrada rampa = 15% de la amplitud de la entrada.
b) Relación de amortiguamiento de los polos dominantes = 0,707
c) Tiempo de establecimiento del sistema = 3 seg.
Si un sistema cuyo Lugar de las Raíces es el de la Figura:

a) ¿Se puede asegurar que el sistema es estable para todo valor de la ganancia?
b) ¿Se puede asegurar que el cero en s = -2 permanecerá en el sistema en lazo cerrado?
Un sistema de control con realimentación unitaria tiene la siguiente Función de Transferencia de la cadena directa:

$KG (s) = K------1------ s(s+ 2)(s+ 4)$

a) Diseñar un regulador lo más sencillo posible de modo que el sistema compensado (su pareja de polos complejos conjugados) cumplan las siguientes especificaciones:

      i) K_v = 0,5 seg^-1 (Coeficiente estático de error de velocidad)
      ii) t_p = 1,57 seg. (Tiempo de establecimiento, 2%)
      iii) ω_n = 4 rad∕seg (Frecuencia natural)

b) Teniendo en cuenta que el sistema no es de segundo orden, dibujar aproximadamente la salida del sistema real ante entrada escalón unitario y comentar el valor del tiempo de establecimiento en el sistema real con respecto al de segundo orden (1,57 seg.).

Nota: Si las especificaciones i, ii y iii son incompatibles, se podrá modificar la primera de ellas.
El sistema de la Figura a se puede reagrupar de las formas mostradas en las Figuras b y c. Entonces, ¿Cual es la Función de Transferencia en lazo abierto? ó .
En la Figura se muestra un control de velocidad de un motor de gasolina. Las constantes de tiempo τ₁ y τ₂ valen respectivamente 1 y 0,5 segundos. Sin embargo la constante τ₃ no se conoce de forma exacta, y mediante cálculos teóricos y empíricos se cree que aproximadamente vale 0,25 seg. (con un intervalo de error dado por 0,1 < τ₃ < 0,5).

(a) Determínese la ganancia K necesaria si se necesita que el error de posición en el estado estacionario sea menor que el 7% de la velocidad de referencia (considérese τ₃ = 0,25).

(b) Con la ganancia K determinada en el apartado anterior, investigar la estabilidad del sistema (construyendo el contorno de las raíces), en el caso de no ser exacta la medición de la constante τ₃.