Cálculo Numérico                       Febrero  2009

1er Ejercicio

La función  f(x)=((8x-1)/x)-(e^x) tiene dos raices.
Se pretende determinar cada una de ellas mediante aproximaciones sucesivas y se dispone de las funciones auxiliares (Subscript[g, 1])(x)=((1+x*(e^x))/8) y (Subscript[g, 2])(x)=Log[((8x-1)/x)]

Dibujar la función para determinar el intervalo en que se encuentran las raices.
Estudiar los criterios de convergencia del método de punto fijo para determinar si alguna de las funciones g sirven para calcular las raíces de f.
Aplicar el método de punto fijo y obtener ambas raices con un error menor que (10^(-5)).

2º Ejercicio

La solución del sistema lineal :
(Subscript[x, 1])                           - (Subscript[x, 3]) = 0.2
-0.5 (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-0.25 (Subscript[x, 3]) = -1.425
(Subscript[x, 1]) - 0.5 (Subscript[x, 2])        +  (Subscript[x, 3])  = 2
es (((0.9,-0.8,0.7))^t).
1º.- Calcular el radio espectral de la matriz de paso del método de Jacobi.
2º.- Utilizar el método de Jacobi para obtener una solución aproximada del sistema con una precisión de (10^(-2)), partiendo de la aproximación inicial : (((0,0,0))^t) , con un número máximo de iteraciones de 300. Utilizar la norma euclídea.
3º.- Repetir los apartados anteriores para el método de Gauss-Seidel.
4º.- Comparar el nº de iteraciones realizadas con ambos métodos.
5º.- Justificar lo que pasaría  si cambiamos el sistema anterior por :
(Subscript[x, 1])                           -2 (Subscript[x, 3]) = 0.2
-0.5 (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-0.25 (Subscript[x, 3]) = -1.425
(Subscript[x, 1]) - 0.5 (Subscript[x, 2])        +  (Subscript[x, 3])  = 2
Nota: Si la Matriz de coeficientes se representa como  A=L+D+U 
Las matrices de paso de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel son respectivamente:
(Subscript[T, j]) =- (D^(-1))(L + U) , y
(Subscript[T, g]) = -(((D+L))^(-1))U